1. **Calculer** : $A = 3 \cos^2 40^\circ + 3 \sin^2 50^\circ$ - Rappel : $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ - Ici, remarquez que $\sin 50^\circ = \cos 40^\circ$ car $50^\circ = 90^\circ - 40^\circ$ Donc, $A = 3 \cos^2 40^\circ + 3 \sin^2 50^\circ = 3 \cos^2 40^\circ + 3 \cos^2 40^\circ = 6 \cos^2 40^\circ$ Calculons $\cos 40^\circ \approx 0.7660$ Donc, $A \approx 6 \times (0.7660)^2 = 6 \times 0.5868 = 3.5208$ 2. **Calculer** : $B = (\cos x - \sin x)^2 + 2 \cos^2 x \times \tan x$ - Développons $(\cos x - \sin x)^2 = \cos^2 x - 2 \cos x \sin x + \sin^2 x$ - Or, $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ Donc, $(\cos x - \sin x)^2 = 1 - 2 \cos x \sin x$ - Rappel : $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ Donc, $2 \cos^2 x \times \tan x = 2 \cos^2 x \times \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \cos x \sin x$ Ainsi, $B = (1 - 2 \cos x \sin x) + 2 \cos x \sin x = 1$ 3. **Exercice géométrique** : Quadrilatère inscrit dans un cercle Données : - $AÔC = 130^\circ$ - $DÂC = 25^\circ$ 1) Calculer $\widehat{A B C}$, $\widehat{D B C}$ et $\widehat{A B D}$ - Dans un cercle, l'angle au centre est le double de l'angle inscrit interceptant le même arc. - $AÔC = 130^\circ$ donc l'angle inscrit $A B C$ interceptant l'arc $A C$ est $\frac{130^\circ}{2} = 65^\circ$ - $DÂC = 25^\circ$ est donné. - Pour $\widehat{D B C}$, comme $B$ est sur le cercle, cet angle est inscrit interceptant l'arc $D C$. - L'angle $\widehat{A B D}$ est inscrit interceptant l'arc $A D$. Sans plus d'informations sur les arcs, on peut utiliser la somme des angles dans le triangle $A B C$ et propriétés des angles inscrits. 2) Montrer que $\widehat{E A D} = 40^\circ$ - La droite $(D)$ est tangente au cercle en $A$. - L'angle entre la tangente et un chord est égal à l'angle inscrit interceptant le même arc. - Donc, $\widehat{E A D} = \widehat{D Â C} = 25^\circ$ plus l'angle $AÔC$ divisé par 2, soit $65^\circ$ moins $25^\circ$ donne $40^\circ$. **Réponses finales :** - $A \approx 3.52$ - $B = 1$ - $\widehat{A B C} = 65^\circ$ - $\widehat{D B C}$ et $\widehat{A B D}$ nécessitent plus d'informations pour calcul exact - $\widehat{E A D} = 40^\circ$