1. Énonçons le problème : On a la fonction $g(x) = \arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$ et on cherche une autre expression équivalente de $g(x)$. 2. Rappelons une identité trigonométrique importante : $$\sin(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1+\tan^2(\theta)}$$ 3. En comparant, on remarque que $$\frac{2x}{1+x^2}$$ a la même forme que $$\sin(2\theta)$$ si on pose $x = \tan(\theta)$. 4. Donc, on peut écrire : $$g(x) = \arcsin\left(\sin(2\theta)\right)$$ avec $\theta = \arctan(x)$. 5. Comme $\arcsin(\sin(y)) = y$ pour $y$ dans l'intervalle $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, et $2\arctan(x)$ est dans cet intervalle pour $x$ réel, on a : $$g(x) = 2\arctan(x)$$ 6. Conclusion : Une autre expression de $g(x)$ est $$g(x) = 2\arctan(x)$$. Cette expression est souvent plus simple à manipuler et à comprendre.