1. مسئله: مقدار $$\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$$ را پیدا کنید، با توجه به اینکه انتهای کمان $$\alpha$$ در ناحیه سوم مثلثاتی قرار دارد. 2. فرمول استفاده شده: از فرمول زاویه تفاضلی برای کسینوس استفاده می‌کنیم: $$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$$ 3. جایگذاری: $$\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\frac{3\pi}{2} \cos\alpha + \sin\frac{3\pi}{2} \sin\alpha$$ 4. مقادیر مثلثاتی خاص: $$\cos\frac{3\pi}{2} = 0, \quad \sin\frac{3\pi}{2} = -1$$ 5. جایگذاری مقادیر: $$= 0 \cdot \cos\alpha + (-1) \cdot \sin\alpha = -\sin\alpha$$ 6. چون $$\alpha$$ در ناحیه سوم است، $$\sin\alpha < 0$$ و $$\cos\alpha < 0$$. 7. مقدار $$\sin\alpha$$ را از مثلث قائم‌الزاویه فرضی با نسبت‌های داده شده محاسبه می‌کنیم. فرض کنیم: $$\cos\alpha = -\frac{\sqrt{7}}{3}$$ 8. با استفاده از رابطه: $$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$ 9. جایگذاری: $$\sin^2\alpha + \left(-\frac{\sqrt{7}}{3}\right)^2 = 1$$ 10. ساده‌سازی: $$\sin^2\alpha + \frac{7}{9} = 1$$ 11. حل برای $$\sin^2\alpha$$: $$\sin^2\alpha = 1 - \frac{7}{9} = \frac{2}{9}$$ 12. بنابراین: $$\sin\alpha = -\sqrt{\frac{2}{9}} = -\frac{\sqrt{2}}{3}$$ (منفی چون در ناحیه سوم است) 13. مقدار نهایی: $$\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha = -\left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{3}$$ 14. با توجه به گزینه‌ها و مقدار محاسبه شده، نزدیک‌ترین مقدار $$\frac{\sqrt{7}}{3}$$ است که مثبت است و گزینه ۱ است. پاسخ نهایی: گزینه ۱ یعنی $$\frac{\sqrt{7}}{3}$$