1. **Énoncé du problème :** Montrer que $$\cos(2a) = \frac{1 - \tan^2 a}{1 + \tan^2 a}$$. 2. **Formule de départ :** On sait que $$\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a$$. 3. **Rappel important :** $$\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}$$, donc $$\sin a = \tan a \cdot \cos a$$. 4. **Exprimer $$\cos(2a)$$ en fonction de $$\tan a$$ :** $$\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = \cos^2 a - (\tan a \cdot \cos a)^2 = \cos^2 a - \tan^2 a \cdot \cos^2 a = \cos^2 a (1 - \tan^2 a)$$. 5. **Utiliser l'identité $$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$ pour exprimer $$\cos^2 a$$ :** $$\cos^2 a = \frac{1}{1 + \tan^2 a}$$. 6. **Substituer dans l'expression de $$\cos(2a)$$ :** $$\cos(2a) = \frac{1}{1 + \tan^2 a} (1 - \tan^2 a) = \frac{1 - \tan^2 a}{1 + \tan^2 a}$$. 7. **Conclusion :** La formule est donc démontrée.