1. Énonçons le problème : Trouver les valeurs exactes de $\cos(x)$ et $\sin(x)$ telles que $$3\cos^2(x) + 5\sin(x) = 1.$$\n\n2. Rappelons la relation fondamentale entre sinus et cosinus : $$\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1.$$\n\n3. Exprimons $\cos^2(x)$ en fonction de $\sin(x)$ : $$\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x).$$\n\n4. Substituons dans l'équation donnée : $$3(1 - \sin^2(x)) + 5\sin(x) = 1.$$\n\n5. Développons : $$3 - 3\sin^2(x) + 5\sin(x) = 1.$$\n\n6. Regroupons tous les termes d'un côté : $$-3\sin^2(x) + 5\sin(x) + 3 - 1 = 0,$$ soit $$-3\sin^2(x) + 5\sin(x) + 2 = 0.$$\n\n7. Multiplions par $-1$ pour simplifier : $$3\sin^2(x) - 5\sin(x) - 2 = 0.$$\n\n8. Posons $s = \sin(x)$, l'équation devient : $$3s^2 - 5s - 2 = 0.$$\n\n9. Résolvons cette équation quadratique avec la formule : $$s = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ où $a=3$, $b=-5$, $c=-2$.\n\n10. Calculons le discriminant : $$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 3 \times (-2) = 25 + 24 = 49.$$\n\n11. Calculons les racines : $$s = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2 \times 3} = \frac{5 \pm 7}{6}.$$\n\n12. Première racine : $$s_1 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2.$$\n\n13. Deuxième racine : $$s_2 = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}.$$\n\n14. Comme $\sin(x)$ doit être dans $[-1,1]$, $s_1=2$ est impossible. Donc, $$\sin(x) = -\frac{1}{3}.$$\n\n15. Trouvons $\cos(x)$ avec la relation fondamentale : $$\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}.$$\n\n16. Donc $$\cos(x) = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}.$$\n\n17. Conclusion : Les valeurs exactes sont $$\sin(x) = -\frac{1}{3}$$ et $$\cos(x) = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}.$$