1. பிரச்சினையை விளக்குக: கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு $$\cos 7x - \sqrt{3} \cos 3x + \cos x = 0$$ என்பதன் பொதுதீர்வை காண வேண்டும். 2. முக்கியமான கோட்பாடுகள் மற்றும் அடிப்படைகள்: - கோசை கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் விதிகள் - கோசை பெருக்கல் மற்றும் குறைத்தல் விதிகள் - கோசை பல்கோண அடிப்படைகள் 3. சமன்பாட்டை எளிமைப்படுத்துவோம்: $$\cos 7x + \cos x = \sqrt{3} \cos 3x$$ 4. இடது பக்கத்தில் உள்ள இரண்டு கோசை உறுப்புகளை கூட்டல் விதி மூலம் எழுதலாம்: $$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$$ இதில், $$A=7x$$ மற்றும் $$B=x$$ ஆகும். 5. ஆகவே, $$\cos 7x + \cos x = 2 \cos \left( \frac{7x + x}{2} \right) \cos \left( \frac{7x - x}{2} \right) = 2 \cos 4x \cos 3x$$ 6. சமன்பாடு இப்போது: $$2 \cos 4x \cos 3x = \sqrt{3} \cos 3x$$ 7. இரு பக்கங்களையும் $$\cos 3x$$ கொண்டு வகுத்தால்: $$\cancel{\cos 3x} \left( 2 \cos 4x - \sqrt{3} \right) = 0$$ 8. எனவே, இரண்டு நிலைகள்: - $$\cos 3x = 0$$ - $$2 \cos 4x - \sqrt{3} = 0$$ 9. முதல் நிலை: $$\cos 3x = 0$$ $$3x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \frac{n\pi}{3}$$ 10. இரண்டாவது நிலை: $$2 \cos 4x = \sqrt{3}$$ $$\cos 4x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 11. $$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ என்றால், $$\theta = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 12. ஆகவே, $$4x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi$$ $$x = \pm \frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}$$ 13. பொதுதீர்வு: $$x = \frac{\pi}{6} + \frac{n\pi}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$$ அல்லது $$x = \pm \frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$