1. Énonçons le problème : Montrer que $$\cos a \cos b = -\frac{1}{2} [\cos(a + b) + \cos(a - b)]$$. 2. Rappelons la formule trigonométrique connue pour le produit de cosinus : $$\cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos(a + b) + \cos(a - b)]$$ Cette formule est une identité trigonométrique standard. 3. Observons que l'expression à démontrer est la même que la formule standard mais avec un signe négatif devant le terme entier. Cela signifie que l'égalité donnée est fausse telle quelle. 4. Pour vérifier, prenons un exemple numérique simple : Si $$a = 0$$ et $$b = 0$$ alors $$\cos 0 \cos 0 = 1 \times 1 = 1$$ 5. Calculons le membre de droite : $$-\frac{1}{2} [\cos(0 + 0) + \cos(0 - 0)] = -\frac{1}{2} [\cos 0 + \cos 0] = -\frac{1}{2} [1 + 1] = -\frac{1}{2} \times 2 = -1$$ 6. Le membre de gauche vaut 1, le membre de droite vaut -1, donc l'égalité ne tient pas. 7. Conclusion : L'identité correcte est $$\cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos(a + b) + \cos(a - b)]$$ Le signe négatif dans l'énoncé est une erreur. 8. Pour démontrer la formule correcte, on peut utiliser la formule d'addition pour le cosinus : $$\cos x + \cos y = 2 \cos \left( \frac{x + y}{2} \right) \cos \left( \frac{x - y}{2} \right)$$ 9. En posant $$x = a + b$$ et $$y = a - b$$, on obtient : $$\cos(a + b) + \cos(a - b) = 2 \cos a \cos b$$ 10. En divisant par 2, on a bien : $$\cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos(a + b) + \cos(a - b)]$$ C'est la formule correcte et démontrée.