1. Plantegem el problema: Tenim que $\cos(\alpha) = -\frac{3}{4}$ i $\tan(\alpha) > 0$. Cal calcular el valor de l'expressió $$\frac{1}{\csc(\alpha)} + \sec^2(\alpha).$$ 2. Recordem que $\csc(\alpha) = \frac{1}{\sin(\alpha)}$ i $\sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)}$. Per tant, $$\frac{1}{\csc(\alpha)} = \sin(\alpha)$$ i $$\sec^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}.$$ 3. Com que $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} > 0$ i $\cos(\alpha) < 0$, deduïm que $\sin(\alpha) < 0$ perquè el quocient sigui positiu (dos negatius fan positiu). Així, $\sin(\alpha)$ és negatiu. 4. Calculem $\sin(\alpha)$ utilitzant la identitat pitagòrica: $$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1.$$ Substituïm $\cos(\alpha) = -\frac{3}{4}$: $$\sin^2(\alpha) + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = 1$$ $$\sin^2(\alpha) + \frac{9}{16} = 1$$ $$\sin^2(\alpha) = 1 - \frac{9}{16} = \frac{16}{16} - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}.$$ 5. Com $\sin(\alpha) < 0$, tenim $$\sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{7}}{4}.$$ 6. Ara calculem l'expressió: $$\frac{1}{\csc(\alpha)} + \sec^2(\alpha) = \sin(\alpha) + \frac{1}{\cos^2(\alpha)} = -\frac{\sqrt{7}}{4} + \frac{1}{\left(-\frac{3}{4}\right)^2} = -\frac{\sqrt{7}}{4} + \frac{1}{\frac{9}{16}}.$$ 7. Simplifiquem la segona fracció: $$\frac{1}{\frac{9}{16}} = \frac{16}{9}.$$ 8. Per tant, l'expressió és: $$-\frac{\sqrt{7}}{4} + \frac{16}{9}.$$ 9. Per sumar, posem en comú denominador $36$: $$-\frac{\sqrt{7}}{4} = -\frac{9\sqrt{7}}{36}, \quad \frac{16}{9} = \frac{64}{36}.$$ 10. Finalment, $$-\frac{9\sqrt{7}}{36} + \frac{64}{36} = \frac{64 - 9\sqrt{7}}{36}.$$ Resposta final: $$\boxed{\frac{64 - 9\sqrt{7}}{36}}.$$