1. **Énoncé du problème :** Nous avons la fonction $d(t) = 10 \sin\left(\frac{19\pi}{6}(t - c)\right) + 15$ qui modélise la distance entre un papillon et un chat. On cherche la constante $c$ telle que $d\left(\frac{3}{5}\right) = 10$. 2. **Nouvelle donnée :** On pose $k = \frac{10\pi}{9}$. 3. **Reformulation de l'équation :** On a $10 = 10 \sin\left(\frac{19\pi}{6}\left(\frac{3}{5} - c\right)\right) + 15$. 4. **Isoler le sinus :** $$10 - 15 = 10 \sin\left(\frac{19\pi}{6}\left(\frac{3}{5} - c\right)\right)$$ $$-5 = 10 \sin\left(\frac{19\pi}{6}\left(\frac{3}{5} - c\right)\right)$$ Divisons par 10 en montrant l'annulation : $$-\cancel{5} \div \cancel{10} = \sin\left(\frac{19\pi}{6}\left(\frac{3}{5} - c\right)\right) \cancel{10} \div \cancel{10}$$ $$-\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{19\pi}{6}\left(\frac{3}{5} - c\right)\right)$$ 5. **Résolution de l'équation trigonométrique :** On sait que $\sin(\theta) = -\frac{1}{2}$ pour $\theta = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$ ou $\theta = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. 6. **Utilisation de $k = \frac{10\pi}{9}$ :** Posons $$\frac{19\pi}{6}\left(\frac{3}{5} - c\right) = -\frac{\pi}{6} + 2n \cdot \frac{10\pi}{9}$$ ou $$\frac{19\pi}{6}\left(\frac{3}{5} - c\right) = \frac{7\pi}{6} + 2n \cdot \frac{10\pi}{9}$$ avec $n \in \mathbb{Z}$. 7. **Calcul de $c$ pour $n=0$ et première solution :** $$\frac{19\pi}{6}\left(\frac{3}{5} - c\right) = -\frac{\pi}{6}$$ Divisons par $\frac{19\pi}{6}$ : $$\frac{3}{5} - c = \frac{-\frac{\pi}{6}}{\frac{19\pi}{6}} = -\frac{1}{19}$$ Donc $$c = \frac{3}{5} + \frac{1}{19} = \frac{57}{95} + \frac{5}{95} = \frac{62}{95} \approx 0.653$$ 8. **Conclusion :** La constante $c$ reste $\approx 0.653$ secondes même avec $k = \frac{10\pi}{9}$ car $n=0$ annule le terme en $k$. **Résumé :** La fonction est $$d(t) = 10 \sin\left(\frac{19\pi}{6}(t - 0.653)\right) + 15.$$