1. **Probleem 1: Bereken de ontbrekende waarden in driehoek ABC** Gegeven: driehoek ABC is rechthoekig in C, |AB| = 10 cm, hoek A = 42°13'44". 2. **Formules en regels:** - In een rechthoekige driehoek geldt de stelling van Pythagoras: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$ - Sinus, cosinus en tangens definities: $$\sin(\theta) = \frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}$$ $$\cos(\theta) = \frac{\text{aanliggende zijde}}{\text{schuine zijde}}$$ $$\tan(\theta) = \frac{\text{overstaande zijde}}{\text{aanliggende zijde}}$$ 3. **Berekeningen:** - Converteer hoek A naar decimale graden: $$42° + \frac{13'}{60} + \frac{44''}{3600} = 42 + 0.2167 + 0.0122 = 42.2289°$$ - Bereken AC (aanliggende zijde bij hoek A): $$\cos(42.2289°) = \frac{AC}{10} \Rightarrow AC = 10 \times \cos(42.2289°) = 10 \times 0.7401 = 7.401 \text{ cm}$$ - Bereken BC (overstaande zijde bij hoek A): $$\sin(42.2289°) = \frac{BC}{10} \Rightarrow BC = 10 \times \sin(42.2289°) = 10 \times 0.6725 = 6.725 \text{ cm}$$ - Hoek B is complementair aan hoek A in rechthoekige driehoek: $$B = 90° - 42.2289° = 47.7711°$$ **Antwoorden:** |AB| = 10 cm |AC| = 7.40 cm |BC| = 6.73 cm |A| = 42°13'44" (gegeven) |B| = 47°46'16" (omgerekend) --- 4. **Probleem 2: Bereken de omtrek van rechthoekig trapezium EFGH** Gegeven: FG = 5 cm, GH = 4 cm, hoek E = 70°, rechte hoeken bij G en H. 5. **Formules en regels:** - Omtrek = som van alle zijden - Gebruik sinus en cosinus om onbekende zijden te berekenen 6. **Berekeningen:** - Omdat hoek E = 70° en trapezium rechthoekig is bij G en H, is EF loodrecht op FG en GH. - Bereken EF met sinus: $$EF = FG \times \tan(70°) = 5 \times 2.747 = 13.735 \text{ cm}$$ - Bereken EH met cosinus: $$EH = FG \times \cos(70°) = 5 \times 0.3420 = 1.710 \text{ cm}$$ - Omtrek: $$EF + FG + GH + EH = 13.735 + 5 + 4 + 1.710 = 24.445 \text{ cm}$$ **Antwoord:** Omtrek EFGH = 24.45 cm --- 7. **Probleem 3a: Lengte schaduw van populier van 15 m hoog bij zonshoek 38°15'20"** 8. **Formules:** - $$\tan(\theta) = \frac{\text{hoogte boom}}{\text{schaduw}}$$ 9. **Berekening:** - Converteer hoek naar decimale graden: $$38° + \frac{15'}{60} + \frac{20''}{3600} = 38 + 0.25 + 0.0056 = 38.2556°$$ - Bereken schaduw: $$\tan(38.2556°) = \frac{15}{\text{schaduw}} \Rightarrow \text{schaduw} = \frac{15}{\tan(38.2556°)} = \frac{15}{0.789} = 19.01 \text{ m}$$ **Antwoord:** Schaduw is 19.01 m --- 10. **Probleem 3b: Hoek zonnestralen bij schaduw 10 m** 11. **Formule:** $$\tan(\theta) = \frac{15}{10} = 1.5$$ 12. **Berekening:** $$\theta = \arctan(1.5) = 56.31°$$ **Antwoord:** Hoek zonnestralen is 56°18'36" --- 13. **Probleem 4: Bereken hoek FÊH in kubus met ribbe 4 cm** 14. **Formules:** - Gebruik vectoren of ruimtemeetkunde - Hoek tussen lijnen via cosinusregel of vectorproducten 15. **Berekening:** - In kubus met ribbe 4, punten E, F, H zijn: $$E = (0,0,0), F = (4,0,0), H = (0,4,0)$$ - Vectoren: $$\overrightarrow{EF} = F - E = (4,0,0)$$ $$\overrightarrow{EH} = H - E = (0,4,0)$$ - Hoek tussen vectoren: $$\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{EH}}{|EF||EH|} = \frac{0}{4 \times 4} = 0$$ - Dus: $$\theta = 90°$$ **Antwoord:** Hoek FÊH = 90° exact --- 16. **Probleem 5: Combineer uitspraken** | A | B | C | D | E | |---|---|---|---|---| | sin A + sin A | 1 − cos² A | sin² A + cos² A | cos A / sin A | tan A / sin A | Match met: 1 tan A 2 sin² A 3 2 sin A 4 1 5 sin² A cos² A 6 1 tan A 7 1 cos A **Oplossingen:** - A: sin A + sin A = 2 sin A → 3 - B: 1 − cos² A = sin² A → 2 - C: sin² A + cos² A = 1 → 4 - D: cos A / sin A = cot A (niet gegeven, maar dichtstbij 7 1 cos A) - E: tan A / sin A = (sin A / cos A) / sin A = 1 / cos A → 7 **Antwoordrooster:** A: 3 B: 2 C: 4 D: 7 E: 7