1. **Énoncé du problème** : Résoudre l'inéquation $$8 \cos\left(\frac{\pi}{4}(x-1)\right) - 3 < 0$$ avec $$x \in [0,12]$$. 2. **Formule et règles importantes** : On cherche les valeurs de $$x$$ telles que $$8 \cos\left(\frac{\pi}{4}(x-1)\right) < 3$$. 3. **Isoler le cosinus** : $$8 \cos\left(\frac{\pi}{4}(x-1)\right) < 3$$ Divisons par 8 (positif, donc sens de l'inégalité conservé) : $$\cos\left(\frac{\pi}{4}(x-1)\right) < \frac{3}{8}$$ 4. **Interprétation** : On cherche les $$x$$ tels que le cosinus d'un angle soit inférieur à $$\frac{3}{8} \approx 0.375$$. 5. **Résolution de l'inéquation trigonométrique** : L'inéquation $$\cos(\theta) < 0.375$$ est satisfaite pour $$\theta \in (\arccos(0.375), 2\pi - \arccos(0.375)) + 2k\pi$$, $$k \in \mathbb{Z}$$. Calculons $$\arccos(0.375) \approx 1.186$$ radians. 6. **Substitution** : $$\theta = \frac{\pi}{4}(x-1)$$ donc $$\frac{\pi}{4}(x-1) \in (1.186, 2\pi - 1.186) + 2k\pi$$ 7. **Intervalle principal** : $$\frac{\pi}{4}(x-1) \in (1.186, 5.097) + 2k\pi$$ 8. **Isoler $$x$$** : $$x-1 \in \left(\frac{4}{\pi}1.186, \frac{4}{\pi}5.097\right) + 8k$$ Calculons : $$\frac{4}{\pi}1.186 \approx 1.51$$ $$\frac{4}{\pi}5.097 \approx 6.49$$ Donc $$x \in (2.51, 7.49) + 8k$$ 9. **Domain restriction $$x \in [0,12]$$** : Pour $$k=0$$ : $$x \in (2.51, 7.49)$$ Pour $$k=1$$ : $$x \in (2.51+8, 7.49+8) = (10.51, 15.49)$$ mais limité à $$[0,12]$$ donc $$x \in (10.51, 12]$$ 10. **Solution finale** : $$x \in (2.51, 7.49) \cup (10.51, 12]$$ 11. **Aperçu du graphique** : La fonction $$y = 8 \cos\left(\frac{\pi}{4}(x-1)\right) - 3$$ oscille entre $$8-3=5$$ et $$-8-3=-11$$ avec période $$T = \frac{2\pi}{\pi/4} = 8$$. Les zones où la fonction est négative correspondent aux intervalles trouvés.