1. Énonçons le problème : Résoudre sur l'intervalle $]-\pi; \pi]$ le système d'inéquations : $$\cos(x) \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin(x) \geq -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 2. Rappelons les valeurs importantes sur le cercle trigonométrique : - $\cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ correspond aux angles $x = \pm \frac{3\pi}{4}$. - $\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ correspond aux angles $x = -\frac{\pi}{3}$ et $x = -\frac{2\pi}{3}$ (mais dans $]-\pi; \pi]$, on retient $x = -\frac{\pi}{3}$). 3. Résolvons la première inéquation $\cos(x) \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$ : Sur $]-\pi; \pi]$, $\cos(x)$ est inférieur ou égal à $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ pour $x$ dans l'intervalle : $$\left[\frac{3\pi}{4}, \pi\right] \cup \left[-\pi, -\frac{3\pi}{4}\right]$$ 4. Résolvons la deuxième inéquation $\sin(x) \geq -\frac{\sqrt{3}}{2}$ : Sur $]-\pi; \pi]$, $\sin(x)$ est supérieur ou égal à $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ pour $x$ dans l'intervalle : $$\left[-\frac{\pi}{3}, \pi\right]$$ 5. Trouvons l'intersection des deux ensembles : $$\left(\left[\frac{3\pi}{4}, \pi\right] \cup \left[-\pi, -\frac{3\pi}{4}\right]\right) \cap \left[-\frac{\pi}{3}, \pi\right] = \left[\frac{3\pi}{4}, \pi\right] \cup \left[-\frac{\pi}{3}, -\frac{3\pi}{4}\right] \cap \left[-\pi, -\frac{3\pi}{4}\right]$$ Mais $\left[-\frac{\pi}{3}, \pi\right]$ ne contient pas $\left[-\pi, -\frac{3\pi}{4}\right]$, donc l'intersection à gauche est vide. Donc la solution est : $$\boxed{\left[\frac{3\pi}{4}, \pi\right]}$$ C'est l'ensemble des $x$ dans $]-\pi; \pi]$ qui satisfont les deux inéquations.