1. El problema es encontrar el valor de $\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ y $\tan^{-1}(-1)$, y además indicar el dominio y rango de cada función. 2. Recordemos que $\sin^{-1}(x)$ es la función inversa del seno, también llamada arcseno, y su dominio es $[-1,1]$ y rango es $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ (o en grados $[-90^\circ, 90^\circ]$). 3. Para $\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ buscamos el ángulo cuyo seno es $\frac{1}{2}$. Sabemos que $\sin 30^\circ = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. 4. Por lo tanto: $$\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \text{ radianes} = 30^\circ$$ 5. Ahora, $\tan^{-1}(x)$ es la función inversa de la tangente, llamada arctan, con dominio $\mathbb{R}$ (todos los reales) y rango $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ (o en grados $(-90^\circ, 90^\circ)$). 6. Para $\tan^{-1}(-1)$ buscamos el ángulo cuyo valor de tangente es $-1$. Sabemos que $\tan(-45^\circ) = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$. 7. Por lo tanto: $$\tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4} \text{ radianes} = -45^\circ$$ 8. Resumen: - $\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$, dominio $[-1,1]$, rango $[-90^\circ,90^\circ]$ - $\tan^{-1}(-1) = -45^\circ = -\frac{\pi}{4}$, dominio $\mathbb{R}$, rango $(-90^\circ,90^\circ)$