1. **Stating the problem:** Rozwiąż nierówność $$\cos t + \tan t < 1$$ dla $$t \in \mathbb{R}$$, a następnie podaj zbiór rozwiązań tej nierówności zawarty w przedziale $$(0, \pi)$$. 2. **Recall definitions and domain:** - $$\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}$$. - Należy pamiętać, że $$\tan t$$ jest nieokreślony, gdy $$\cos t = 0$$, czyli w punktach $$t = \frac{\pi}{2} + k\pi$$, $$k \in \mathbb{Z}$$. 3. **Rewrite nierówność:** $$\cos t + \frac{\sin t}{\cos t} < 1$$ 4. **Multiply both sides by $$\cos t$$, pamiętając o znaku nierówności:** - Dla $$\cos t > 0$$ mnożymy bez zmiany znaku. - Dla $$\cos t < 0$$ znak nierówności się odwraca. 5. **Rozpatrzmy przypadki:** **Przypadek 1: $$\cos t > 0$$** $$\cos^2 t + \sin t < \cos t$$ Przenieśmy wszystko na lewą stronę: $$\cos^2 t + \sin t - \cos t < 0$$ 6. **Użyjemy tożsamości trygonometrycznej:** $$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$$ Podstawiamy: $$1 - \sin^2 t + \sin t - \cos t < 0$$ Ale mamy $$- \cos t$$, a chcemy wyrazić wszystko przez $$\sin t$$, więc lepiej zostawić w obecnej formie lub rozważyć inną metodę. 7. **Alternatywnie, pomnóżmy nierówność przez $$\cos t$$ i przenieśmy wszystko na jedną stronę:** $$\cos^2 t + \sin t - \cos t < 0$$ 8. **Przypomnijmy, że $$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$$, więc:** $$1 - \sin^2 t + \sin t - \cos t < 0$$ Ale mamy mieszane funkcje, więc lepiej wrócić do oryginalnej nierówności i rozważyć ją inaczej. 9. **Zamiast tego, przekształćmy nierówność do wspólnego mianownika:** $$\cos t + \frac{\sin t}{\cos t} < 1$$ $$\Rightarrow \frac{\cos^2 t + \sin t}{\cos t} < 1$$ 10. **Przenieśmy 1 na lewą stronę:** $$\frac{\cos^2 t + \sin t}{\cos t} - 1 < 0$$ $$\Rightarrow \frac{\cos^2 t + \sin t - \cos t}{\cos t} < 0$$ 11. **Zauważmy, że licznik to:** $$\cos^2 t - \cos t + \sin t$$ 12. **Nierówność ma postać:** $$\frac{\cos^2 t - \cos t + \sin t}{\cos t} < 0$$ 13. **Zbadajmy znak licznika i mianownika:** - Mianownik: $$\cos t$$ - Licznik: $$\cos^2 t - \cos t + \sin t$$ 14. **Wyznaczmy miejsca zerowe licznika:** $$\cos^2 t - \cos t + \sin t = 0$$ 15. **Podstawmy $$c = \cos t$$, $$s = \sin t$$, pamiętając, że $$s^2 + c^2 = 1$$. Jednak mamy dwie zmienne, więc rozważmy wyrażenie jako funkcję $$t$$. 16. **Zamiast tego, rozważmy przedział $$(0, \pi)$$, gdzie $$\cos t$$ zmienia znak od $$1$$ do $$-1$$, a $$\sin t$$ jest dodatnie. 17. **Zbadajmy znak mianownika:** - Dla $$t \in (0, \frac{\pi}{2})$$, $$\cos t > 0$$ - Dla $$t \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$$, $$\cos t < 0$$ 18. **Zbadajmy znak licznika w tych przedziałach:** - Dla $$t \in (0, \frac{\pi}{2})$$, $$\sin t > 0$$, $$\cos t > 0$$ - Dla $$t \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$$, $$\sin t > 0$$, $$\cos t < 0$$ 19. **Sprawdźmy wartości licznika w punktach granicznych:** - Dla $$t \to 0^+$$: $$\cos t \to 1$$, $$\sin t \to 0$$ $$\cos^2 t - \cos t + \sin t \to 1 - 1 + 0 = 0$$ - Dla $$t = \frac{\pi}{2}$$: $$\cos t = 0$$, $$\sin t = 1$$ $$0 - 0 + 1 = 1 > 0$$ - Dla $$t \to \pi^-$$: $$\cos t \to -1$$, $$\sin t \to 0$$ $$1 - (-1) + 0 = 1 + 1 = 2 > 0$$ 20. **Wnioskujemy, że licznik jest bliski 0 przy $$t \to 0^+$$ i dodatni w pozostałych punktach. 21. **Zbadajmy znak całego wyrażenia:** - Dla $$t \in (0, \frac{\pi}{2})$$, mianownik $$> 0$$, licznik $$\geq 0$$ (z wyjątkiem $$t=0$$, gdzie jest 0). - Dla $$t \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$$, mianownik $$< 0$$, licznik $$> 0$$. 22. **Nierówność $$\frac{licznik}{mianownik} < 0$$ jest spełniona, gdy licznik i mianownik mają przeciwne znaki. Zatem:** - Dla $$t \in (0, \frac{\pi}{2})$$: licznik $$\geq 0$$, mianownik $$> 0$$, więc wyrażenie $$\geq 0$$, nierówność nie jest spełniona. - Dla $$t \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$$: licznik $$> 0$$, mianownik $$< 0$$, więc wyrażenie $$< 0$$, nierówność jest spełniona. 23. **Sprawdźmy, czy $$t = \frac{\pi}{2}$$ należy do rozwiązania:** - W $$t = \frac{\pi}{2}$$ $$\cos t = 0$$, więc $$\tan t$$ nie jest określone, więc $$t = \frac{\pi}{2}$$ nie należy do dziedziny. 24. **Ostatecznie, rozwiązaniem nierówności na przedziale $$(0, \pi)$$ jest przedział:** $$\boxed{\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)}$$ 25. **Rozwiązanie na całym $$\mathbb{R}$$:** - Należy uwzględnić okresowość funkcji i punkty, gdzie $$\cos t = 0$$. - W każdym okresie $$\left(k\pi, (k+1)\pi\right)$$, rozwiązaniem jest $$\left(k\pi + \frac{\pi}{2}, (k+1)\pi\right)$$ dla $$k \in \mathbb{Z}$$. --- **Final answer:** Rozwiązaniem nierówności $$\cos t + \tan t < 1$$ na przedziale $$(0, \pi)$$ jest $$\boxed{\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)}$$.