1. El problema pide calcular las razones trigonométricas directas (seno, coseno y tangente) de varios ángulos dados, relacionándolos con ángulos del primer cuadrante. 2. Regla importante: Para ángulos mayores a 360º o negativos, se reduce el ángulo al primer ciclo usando la fórmula $$\theta_{reducido} = \theta \mod 360^\circ$$. 3. Luego, se identifica el cuadrante del ángulo reducido para determinar el signo de las razones trigonométricas. 4. Finalmente, se relacionan con ángulos del primer cuadrante (entre 0º y 90º) usando simetrías: - En el segundo cuadrante: $$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$$, $$\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$$, $$\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha$$. - En el tercer cuadrante: $$\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin \alpha$$, $$\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha$$, $$\tan(180^\circ + \alpha) = \tan \alpha$$. - En el cuarto cuadrante: $$\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin \alpha$$, $$\cos(360^\circ - \alpha) = \cos \alpha$$, $$\tan(360^\circ - \alpha) = -\tan \alpha$$. 5. Calculamos para cada ángulo: a) $$120^\circ$$ - Ya está entre 0 y 360. - Cuadrante II, referencia $$\alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$. - $$\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$. - $$\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$$. - $$\tan 120^\circ = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3}$$. b) $$330^\circ$$ - Cuadrante IV, referencia $$\alpha = 360^\circ - 330^\circ = 30^\circ$$. - $$\sin 330^\circ = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$$. - $$\cos 330^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$. - $$\tan 330^\circ = -\tan 30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$. c) $$420^\circ$$ - Reducimos: $$420^\circ - 360^\circ = 60^\circ$$. - Cuadrante I. - $$\sin 420^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$. - $$\cos 420^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$. - $$\tan 420^\circ = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$$. d) $$1200^\circ$$ - Reducimos: $$1200^\circ \mod 360^\circ = 1200 - 3\times 360 = 1200 - 1080 = 120^\circ$$. - Igual que a), cuadrante II, referencia 60º. - $$\sin 1200^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$. - $$\cos 1200^\circ = -\frac{1}{2}$$. - $$\tan 1200^\circ = -\sqrt{3}$$. e) $$3150^\circ$$ - Reducimos: $$3150^\circ \mod 360^\circ = 3150 - 8\times 360 = 3150 - 2880 = 270^\circ$$. - Cuadrante III (exacto en eje negativo y positivo). - $$\sin 270^\circ = -1$$. - $$\cos 270^\circ = 0$$. - $$\tan 270^\circ$$ no está definida (división por cero). f) $$2400^\circ$$ - Reducimos: $$2400^\circ \mod 360^\circ = 2400 - 6\times 360 = 2400 - 2160 = 240^\circ$$. - Cuadrante III, referencia $$\alpha = 240^\circ - 180^\circ = 60^\circ$$. - $$\sin 240^\circ = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$. - $$\cos 240^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$$. - $$\tan 240^\circ = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$$. Respuesta final: - a) $$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$$, $$\tan 120^\circ = -\sqrt{3}$$. - b) $$\sin 330^\circ = -\frac{1}{2}$$, $$\cos 330^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$\tan 330^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$. - c) $$\sin 420^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$\cos 420^\circ = \frac{1}{2}$$, $$\tan 420^\circ = \sqrt{3}$$. - d) $$\sin 1200^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$\cos 1200^\circ = -\frac{1}{2}$$, $$\tan 1200^\circ = -\sqrt{3}$$. - e) $$\sin 3150^\circ = -1$$, $$\cos 3150^\circ = 0$$, $$\tan 3150^\circ$$ no definida. - f) $$\sin 2400^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$\cos 2400^\circ = -\frac{1}{2}$$, $$\tan 2400^\circ = \sqrt{3}$$.