1. Énoncé du problème : Trouver toutes les valeurs de $x$ dans l'intervalle $[0, \pi]$ telles que $\sec 3x = 3$. 2. Rappel de la définition : $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$. Donc, $\sec 3x = 3$ équivaut à $\frac{1}{\cos 3x} = 3$. 3. Résolution de l'équation : $$\frac{1}{\cos 3x} = 3 \implies \cos 3x = \frac{1}{3}$$ 4. Trouvons les solutions de $\cos 3x = \frac{1}{3}$. La fonction cosinus est périodique de période $2\pi$, donc : $$3x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 5. Isolons $x$ : $$x = \frac{\pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi}{3}$$ 6. Calculons $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$ en radians : $$\arccos\left(\frac{1}{3}\right) \approx 1.231$$ 7. Trouvons toutes les solutions $x$ dans $[0, \pi]$ en testant différentes valeurs de $k$ : - Pour $k=0$ : $$x_1 = \frac{1.231}{3} \approx 0.410$$ $$x_2 = \frac{-1.231}{3} = -0.410 \notin [0, \pi]$$ - Pour $k=1$ : $$x_3 = \frac{1.231 + 2\pi}{3} = \frac{1.231 + 6.283}{3} = \frac{7.514}{3} \approx 2.505$$ (hors de $[0, \pi]$ car $\pi \approx 3.142$) $$x_4 = \frac{-1.231 + 2\pi}{3} = \frac{5.052}{3} \approx 1.684$$ (dans $[0, \pi]$) - Pour $k=-1$ : $$x_5 = \frac{1.231 - 2\pi}{3} = \frac{1.231 - 6.283}{3} = \frac{-5.052}{3} = -1.684 \notin [0, \pi]$$ $$x_6 = \frac{-1.231 - 2\pi}{3} = \frac{-1.231 - 6.283}{3} = \frac{-7.514}{3} = -2.505 \notin [0, \pi]$$ 8. Les solutions dans $[0, \pi]$ sont donc : $$x \approx 0.410 \quad \text{et} \quad x \approx 1.684$$ 9. Arrondissons au millième : $$x \approx 0.410$$ $$x \approx 1.684$$ Réponse finale : Les valeurs de $x$ dans $[0, \pi]$ telles que $\sec 3x = 3$ sont $x \approx 0.410$ et $x \approx 1.684$.