1. مسئله: محاسبه \( \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \) و \( \sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) \) و سپس یافتن تقریب عددی مشتق \( \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) \) با استفاده از مشتق‌گیری عددی. 2. برای محاسبه مقادیر سینوس زاویه‌های داده شده، از فرمول‌های زاویه نصف و جمع استفاده می‌کنیم. 3. محاسبه \( \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \): \[ \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} \times \frac{1}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2}} \] چون \( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)، داریم: \[ \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \approx 0.3827 \] 4. محاسبه \( \sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) \): \[ \sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \] و \( \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \approx 0.9239 \) پس: \[ \sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) \approx 0.9239 \] 5. بخش ب: تقریب مشتق \( \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) \) با مشتق‌گیری عددی. فرمول مشتق عددی مرکزی: \[ f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} \] تابع مورد نظر \( f(x) = \sin(x) \) است و مشتق آن \( f'(x) = \cos(x) \). با توجه به جدول داده شده، نزدیک‌ترین نقاط به \( \frac{3\pi}{8} = 0.375\pi \approx 1.178 \) رادیان، \( \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \approx 1.047 \) و \( \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \approx 1.571 \) هستند. پس \( h = \frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{6} \approx 0.524 \). محاسبه مشتق عددی: \[ \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) \approx \frac{\sin\left(\frac{3\pi}{6}\right) - \sin\left(\frac{2\pi}{6}\right)}{2 \times \frac{\pi}{6}} = \frac{1 - 0.87}{2 \times 0.524} = \frac{0.13}{1.047} \approx 0.124 \] 6. مقدار دقیق \( \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \approx 0.3827 \) است که با تقریب عددی متفاوت است، زیرا \( h \) بزرگ است و داده‌ها محدودند. نتیجه نهایی: \[ \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \approx 0.3827 \] \[ \sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) \approx 0.9239 \] \[ \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) \approx 0.124 \text{ (تقریب عددی)} \]