1. مسئله: دنباله $a_n = \frac{1}{\sin n}$ را برای $n=45060$ پیدا کنید. 2. ابتدا باید مقدار $\sin 45060$ را محاسبه کنیم. چون سینوس تابعی تناوبی با دوره $360^\circ$ است، می‌توانیم $45060$ را بر $360$ تقسیم کنیم تا زاویه متناظر در دوره اول پیدا شود: $$45060 \mod 360 = 45060 - 360 \times \left\lfloor \frac{45060}{360} \right\rfloor$$ 3. محاسبه: $$\frac{45060}{360} = 125.1666...$$ پس $$45060 \mod 360 = 45060 - 360 \times 125 = 45060 - 45000 = 60$$ 4. بنابراین: $$\sin 45060 = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 5. حال مقدار $a_{45060}$ را محاسبه می‌کنیم: $$a_{45060} = \frac{1}{\sin 45060} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$ 6. گزینه‌ها را بررسی می‌کنیم: گزینه II شامل $\{ \sqrt{3} , \frac{2\sqrt{3}}{3} \}$ است که مقدار دوم با مقدار ما برابر است. 7. مقدار اول $\sqrt{3}$ نیز می‌تواند مقدار $\frac{1}{\sin n}$ برای زاویه‌های دیگر باشد، اما با توجه به سوال و گزینه‌ها، گزینه II صحیح است. پاسخ نهایی: گزینه II