1. مسئله: دنباله $a_n = \frac{1}{\sin n}$ را برای $n=4560$ بیابید. 2. فرمول و نکات مهم: برای محاسبه مقدار دنباله، باید مقدار $\sin 4560$ را بیابیم و سپس معکوس آن را محاسبه کنیم. 3. محاسبه مقدار $\sin 4560$: از آنجا که سینوس دوره تناوب $360^\circ$ دارد، ابتدا $4560$ را بر $360$ تقسیم می‌کنیم: $$4560 \div 360 = 12.666...$$ بخش صحیح 12 است و باقی‌مانده: $$4560 - 12 \times 360 = 4560 - 4320 = 240$$ پس: $$\sin 4560 = \sin 240^\circ$$ 4. مقدار $\sin 240^\circ$: زاویه $240^\circ$ در ربع سوم است و مقدار سینوس آن منفی است: $$\sin 240^\circ = -\sin (240^\circ - 180^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 5. مقدار دنباله: $$a_{4560} = \frac{1}{\sin 4560} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$$ 6. بررسی گزینه‌ها: گزینه‌ها به صورت جفت اعداد داده شده‌اند. مقدار ما برابر با $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$ است که تقریباً برابر با $-1.1547$ است. گزینه ۱: $\{-\sqrt{3}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}\} \approx \{-1.732, -2.598\}$ گزینه ۲: $\{\sqrt{3}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\} \approx \{1.732, 2.598\}$ گزینه ۳: $\{-1, 3\}$ گزینه ۴: $\{1, 3\}$ مقدار $a_{4560}$ نزدیک به $-1.1547$ است که به هیچ کدام از گزینه‌ها دقیقا نمی‌خورد اما نزدیک‌ترین مقدار به گزینه ۱ است که شامل مقادیر منفی است. بنابراین پاسخ صحیح گزینه ۱ است.