1. **Énoncé du problème :** Vérifier que pour $t \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, on a $$\sin^2 t = \frac{\tan^2 t}{1 + \tan^2 t}$$ 2. **Formule et règles importantes :** Rappelons que $\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}$ et que $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$. 3. **Travail intermédiaire :** Partons du membre de droite : $$\frac{\tan^2 t}{1 + \tan^2 t} = \frac{\left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)^2}{1 + \left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)^2} = \frac{\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}}{1 + \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}}$$ 4. **Simplification :** $$= \frac{\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}}{\frac{\cos^2 t}{\cos^2 t} + \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}} = \frac{\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}}{\frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\cos^2 t}}$$ 5. **Annulation des dénominateurs communs :** $$= \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} \times \frac{\cancel{\cos^2 t}}{\cos^2 t + \sin^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t + \sin^2 t}$$ 6. **Utilisation de l'identité trigonométrique :** $$\cos^2 t + \sin^2 t = 1$$ Donc : $$\frac{\sin^2 t}{1} = \sin^2 t$$ 7. **Conclusion :** On a bien montré que $$\sin^2 t = \frac{\tan^2 t}{1 + \tan^2 t}$$ ce qui vérifie l'égalité demandée.