1. Énonçons le problème : Montrer que $$\sin(2a) = \frac{2\tan a}{1 + \tan^2 a}$$. 2. Rappelons la formule trigonométrique de l'angle double pour le sinus : $$\sin(2a) = 2\sin a \cos a$$. 3. Exprimons $\sin a$ et $\cos a$ en fonction de $\tan a$ : $$\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \Rightarrow \sin a = \tan a \cos a$$. 4. Substituons $\sin a = \tan a \cos a$ dans la formule de $\sin(2a)$ : $$\sin(2a) = 2 \times (\tan a \cos a) \times \cos a = 2 \tan a \cos^2 a$$. 5. Utilisons l'identité trigonométrique : $$\cos^2 a = \frac{1}{1 + \tan^2 a}$$. 6. Remplaçons $\cos^2 a$ dans l'expression : $$\sin(2a) = 2 \tan a \times \frac{1}{1 + \tan^2 a} = \frac{2 \tan a}{1 + \tan^2 a}$$. 7. Conclusion : Nous avons montré que $$\sin(2a) = \frac{2 \tan a}{1 + \tan^2 a}$$ comme demandé.