1. Énoncé du problème : Trouver la valeur de $x$ telle que $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 2. Formule utilisée : La fonction sinus est périodique et pour $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, les solutions principales dans $[0,2\pi)$ sont données par : $$x = \frac{\pi}{3} \quad \text{et} \quad x = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$ 3. Explication : - $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ correspond à un angle dont le sinus est $\frac{\sqrt{3}}{2}$. - Sur le cercle trigonométrique, cela correspond aux angles $60^\circ$ (ou $\frac{\pi}{3}$ radians) et $120^\circ$ (ou $\frac{2\pi}{3}$ radians). 4. Valeurs exactes : $$x = \frac{\pi}{3} \approx 1.047 \quad \text{radians}$$ $$x = \frac{2\pi}{3} \approx 2.094 \quad \text{radians}$$ 5. Comme la fonction sinus est périodique de période $2\pi$, les solutions générales sont : $$x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{et} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 6. Avec une calculatrice, on peut vérifier que $\sin(1.047) \approx 0.866$ qui est bien $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Réponse finale : $$x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$