1. Énonçons le problème : On a l'équation $8 \tan x = 3 \cos x$ avec $0^\circ < x < 180^\circ$. Il faut déterminer la valeur de $\sin x$. 2. Rappelons que $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, donc on peut réécrire l'équation en fonction de $\sin x$ et $\cos x$. 3. Substituons : $$8 \frac{\sin x}{\cos x} = 3 \cos x$$ 4. Multiplions les deux côtés par $\cos x$ (en supposant $\cos x \neq 0$) : $$8 \sin x = 3 \cos^2 x$$ 5. Utilisons l'identité trigonométrique $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ pour exprimer $\cos^2 x$ en fonction de $\sin x$ : $$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$$ 6. Remplaçons dans l'équation : $$8 \sin x = 3 (1 - \sin^2 x)$$ 7. Développons : $$8 \sin x = 3 - 3 \sin^2 x$$ 8. Réorganisons pour obtenir une équation quadratique en $\sin x$ : $$3 \sin^2 x + 8 \sin x - 3 = 0$$ 9. Posons $y = \sin x$, l'équation devient : $$3 y^2 + 8 y - 3 = 0$$ 10. Résolvons cette équation quadratique avec la formule : $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ avec $a=3$, $b=8$, $c=-3$. 11. Calculons le discriminant : $$\Delta = 8^2 - 4 \times 3 \times (-3) = 64 + 36 = 100$$ 12. Calculons les racines : $$y = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2 \times 3} = \frac{-8 \pm 10}{6}$$ 13. Première racine : $$y_1 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ 14. Deuxième racine : $$y_2 = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$$ 15. Comme $\sin x$ doit être dans l'intervalle $[-1,1]$, $y_2 = -3$ est rejeté. 16. Donc, la valeur de $\sin x$ est : $$\boxed{\sin x = \frac{1}{3}}$$