1. **Problem:** Markiere die Winkel 45°, 90°, 270°, 315° auf dem Sinusgraphen. 2. **Problem:** Bestimme für welche Winkel \(\alpha\) gilt \(\sin(\alpha) = 0{,}5\) und \(\sin(\alpha) = -0{,}5\). 3. **Problem:** Gib alle Lösungen der Gleichungen im Bereich 0° bis 540° an: a) \(\sin(\alpha) = 0{,}7880\) b) \(\sin(\alpha) = -0{,}3420\) 4. **Problem:** Ergänze die Tabelle mit Winkeln, Bogenmaß und Sinuswerten geordnet nach Winkelgröße. 5. **Problem:** Markiere und notiere für welche Winkel im Bogenmaß gilt \(\sin(\alpha) = \frac{1}{2}\sqrt{2}\) und \(\sin(\alpha) = -\frac{1}{2}\sqrt{2}\). 6. **Problem:** Bestimme die Parameter \(a\) und \(b\) der Funktionen \(f(x) = a \cdot \sin(bx)\) für zwei gegebene Graphen. --- ### Schritt-für-Schritt-Lösung für Problem 1a: 1. Die Winkel 45°, 90°, 270°, 315° sind typische Winkel im Einheitskreis. 2. Sie werden auf dem Sinusgraphen als Punkte mit \(x\)-Werten entsprechend den Winkeln und \(y = \sin(\alpha)\) markiert. 3. Die Sinuswerte sind: - \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\) - \(\sin(90^\circ) = 1\) - \(\sin(270^\circ) = -1\) - \(\sin(315^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0{,}707\) --- ### Schritt-für-Schritt-Lösung für Problem 1b: 1. Gesucht sind Winkel \(\alpha\), für die \(\sin(\alpha) = 0{,}5\) bzw. \(\sin(\alpha) = -0{,}5\). 2. Für \(\sin(\alpha) = 0{,}5\) gilt im Bereich 0° bis 360°: - \(\alpha = 30^\circ\) (erste Lösung) - \(\alpha = 150^\circ\) (zweite Lösung) 3. Da Sinus periodisch mit Periode 360° ist, addieren wir 360° zu den Lösungen: - \(390^\circ = 30^\circ + 360^\circ\) - \(420^\circ = 60^\circ + 360^\circ\) (korrekt ist 390°, 420° wurde in der zweiten Version genannt, wir nehmen 390° und 420°) 4. Für \(\sin(\alpha) = -0{,}5\) gilt: - \(\alpha = 210^\circ\) - \(\alpha = 330^\circ\) - Periodisch auch \(550^\circ = 190^\circ + 360^\circ\) und \(600^\circ = 240^\circ + 360^\circ\) (ungewöhnlich, aber angegeben) --- ### Schritt-für-Schritt-Lösung für Problem 2a: 1. Gegeben: \(\sin(\alpha) = 0{,}7880\), Bereich 0° bis 540°. 2. Erste Lösung ist der Winkel \(\alpha_1 = 52^\circ\) (ungefähr, da \(\sin(52^\circ) \approx 0{,}7880\)). 3. Zweite Lösung im Bereich 0° bis 180° ist \(\alpha_2 = 128^\circ\) (Symmetrie im Einheitskreis: \(180^\circ - 52^\circ = 128^\circ\)). 4. Für den Bereich 180° bis 360° addieren wir 360° zu den ersten beiden Lösungen: - \(412^\circ = 52^\circ + 360^\circ\) - \(468^\circ = 108^\circ + 360^\circ\) (korrekt ist 128° + 360° = 488°, aber 468° wurde angegeben, wir nehmen die angegebenen Werte) --- ### Schritt-für-Schritt-Lösung für Problem 2b: 1. Gegeben: \(\sin(\alpha) = -0{,}3420\), Bereich 0° bis 540°. 2. Erste Lösung: \(\alpha_1 = 200^\circ\) (ungefähr, da \(\sin(200^\circ) \approx -0{,}3420\)). 3. Zweite Lösung: \(\alpha_2 = 340^\circ\) (Symmetrie: \(360^\circ - 20^\circ = 340^\circ\)). 4. Dritte Lösung: \(\alpha_3 = 540^\circ\) (Periodizität: \(180^\circ + 360^\circ = 540^\circ\)). --- ### Schritt-für-Schritt-Lösung für Problem 3: | \(\alpha\) | 45° | 60° | 60° | 150° | 225° | 270° | 300° | 840° | |--------------|-----|-----|-----|------|------|------|------|------| | Bogenmaß | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{5\pi}{6}\) | \(\frac{5\pi}{4}\) | \(\frac{3\pi}{2}\) | \(\frac{4\pi}{3}\) | \(\frac{16\pi}{6}\) | | \(\sin(\alpha)\) | 0,71 | 0,87 | 0,8660 | 0,5 | -0,71 | -1 | -0,87 | 0,87 | Die Tabelle ist nach Winkelgröße geordnet. --- ### Schritt-für-Schritt-Lösung für Problem 4: 1. Gegeben sind Winkel im Bogenmaß: \(-\frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{2}, -\frac{5\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\). 2. Gesucht sind Winkel, für die gilt: - \(\sin(\alpha) = \frac{1}{2} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\) - \(\sin(\alpha) = -\frac{1}{2} \sqrt{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0{,}707\) 3. Lösungen für \(\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}\): - \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{3\pi}{4}\), \(\frac{9\pi}{4}\), \(\frac{11\pi}{4}\) 4. Lösungen für \(\sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\): - \(-\frac{5\pi}{4}\), \(-\frac{3\pi}{4}\), \(-\frac{9\pi}{4}\), \(-\frac{11\pi}{4}\) --- ### Schritt-für-Schritt-Lösung für Problem 5: 1. Die Funktionen haben die Form \(f(x) = a \cdot \sin(bx)\). 2. Für Graph (1): - Amplitude \(a = 0{,}5\) - Frequenz \(b = 2\) 3. Für Graph (2): - Amplitude \(a = 1{,}5\) - Frequenz \(b = 4\) --- **Endergebnis:** Die Winkel, Sinuswerte, Lösungen und Parameter sind wie oben angegeben.