1. Planteamos el problema: Desde un punto en el terreno se observa una torre con un ángulo de elevación $\alpha$. Desde la mitad de la distancia, el ángulo de elevación es el complemento de $\alpha$, es decir, $90^\circ - \alpha$. Debemos hallar $\tan \theta$, donde $\theta$ es el ángulo de elevación original $\alpha$. 2. Definamos variables: Sea $d$ la distancia desde el punto inicial a la base de la torre, y $h$ la altura de la torre. 3. Por definición de tangente en el triángulo rectángulo: $$\tan \alpha = \frac{h}{d}$$ 4. Desde la mitad de la distancia, es decir, a $\frac{d}{2}$, el ángulo de elevación es $90^\circ - \alpha$. Entonces: $$\tan(90^\circ - \alpha) = \frac{h}{\frac{d}{2}} = \frac{2h}{d}$$ 5. Recordemos que $\tan(90^\circ - \alpha) = \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$. 6. Igualamos las expresiones: $$\frac{1}{\tan \alpha} = \frac{2h}{d}$$ 7. Pero de (3) sabemos que $\tan \alpha = \frac{h}{d}$, entonces $h = d \tan \alpha$. 8. Sustituimos $h$ en la ecuación de (6): $$\frac{1}{\tan \alpha} = \frac{2 (d \tan \alpha)}{d} = 2 \tan \alpha$$ 9. Simplificamos: $$\frac{1}{\tan \alpha} = 2 \tan \alpha$$ 10. Multiplicamos ambos lados por $\tan \alpha$ para despejar: $$\cancel{\tan \alpha} \times \frac{1}{\tan \alpha} = 2 \cancel{\tan \alpha} \times \tan \alpha$$ $$1 = 2 \tan^2 \alpha$$ 11. Despejamos $\tan^2 \alpha$: $$\tan^2 \alpha = \frac{1}{2}$$ 12. Finalmente, calculamos $\tan \alpha$: $$\tan \alpha = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 13. Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C) $\frac{\sqrt{2}}{2}$.