1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación $\tan 2x = \cot 2x$ en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ]$. 2. Recordemos que $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$, por lo que la ecuación se puede escribir como: $$\tan 2x = \frac{1}{\tan 2x}$$ 3. Multiplicamos ambos lados por $\tan 2x$ para eliminar el denominador, teniendo cuidado de que $\tan 2x \neq 0$: $$\tan 2x \cdot \tan 2x = 1$$ $$\tan^2 2x = 1$$ 4. Aplicamos la raíz cuadrada a ambos lados: $$\tan 2x = \pm 1$$ 5. Ahora resolvemos para $2x$: - Para $\tan 2x = 1$, las soluciones son: $$2x = 45^\circ + k \cdot 180^\circ, \quad k \in \mathbb{Z}$$ - Para $\tan 2x = -1$, las soluciones son: $$2x = 135^\circ + k \cdot 180^\circ, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 6. Dividimos entre 2 para encontrar $x$: - De $2x = 45^\circ + k \cdot 180^\circ$: $$x = 22.5^\circ + k \cdot 90^\circ$$ - De $2x = 135^\circ + k \cdot 180^\circ$: $$x = 67.5^\circ + k \cdot 90^\circ$$ 7. Encontramos los valores de $x$ en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ]$ para ambos casos: - Para $x = 22.5^\circ + k \cdot 90^\circ$: - $k=0 \Rightarrow x=22.5^\circ$ - $k=1 \Rightarrow x=112.5^\circ$ - $k=2 \Rightarrow x=202.5^\circ$ - $k=3 \Rightarrow x=292.5^\circ$ - Para $x = 67.5^\circ + k \cdot 90^\circ$: - $k=0 \Rightarrow x=67.5^\circ$ - $k=1 \Rightarrow x=157.5^\circ$ - $k=2 \Rightarrow x=247.5^\circ$ - $k=3 \Rightarrow x=337.5^\circ$ 8. Por lo tanto, las soluciones en el intervalo dado son: $$x = 22.5^\circ, 67.5^\circ, 112.5^\circ, 157.5^\circ, 202.5^\circ, 247.5^\circ, 292.5^\circ, 337.5^\circ$$