1. مسئله: حل معادله $\tan x = 1 + \tan^2 x$ برای قسمت ب. 2. فرمول و قوانین مهم: می‌دانیم که $\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$، پس معادله را می‌توان به صورت $\tan x = \sec^2 x$ نوشت. 3. جایگزینی: معادله به شکل $\tan x = 1 + \tan^2 x$ است که برابر با $\tan x = \sec^2 x$ است. 4. با توجه به رابطه $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$، معادله به صورت $\tan x = 1 + \tan^2 x$ است. 5. معادله را به صورت $\tan^2 x - \tan x + 1 = 0$ بازنویسی می‌کنیم. 6. این یک معادله درجه دوم نسبت به $\tan x$ است. فرض کنیم $t = \tan x$، پس معادله می‌شود: $$t^2 - t + 1 = 0$$ 7. حل معادله درجه دوم با فرمول کلی: $$t = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 1 \times 1}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2}$$ 8. چون ریشه‌ها موهومی هستند (زیر رادیکال منفی است)، معادله در اعداد حقیقی جواب ندارد. 9. بنابراین، معادله $\tan x = 1 + \tan^2 x$ هیچ جواب حقیقی ندارد. پاسخ نهایی: معادله در اعداد حقیقی بی‌جواب است.