1. **Énoncé du problème :** On a un triangle ABC avec AB = $\sqrt{3}$, AC = 2, et BC = 1. Il faut montrer que ABC est un triangle rectangle. 2. **Formule utilisée :** Pour montrer qu'un triangle est rectangle, on utilise le théorème de Pythagore : $$\text{Si } AB^2 + BC^2 = AC^2, \text{ alors le triangle est rectangle en } B.$$ 3. **Calculs :** Calculons les carrés des longueurs : $$AB^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$$ $$BC^2 = 1^2 = 1$$ $$AC^2 = 2^2 = 4$$ Vérifions la relation : $$AB^2 + BC^2 = 3 + 1 = 4 = AC^2$$ 4. **Conclusion :** Comme $AB^2 + BC^2 = AC^2$, le triangle ABC est rectangle en $B$. --- 5. **Calcul de $\cos \widehat{BAC}$, $\sin \widehat{BAC}$ et $\tan \widehat{BAC}$ :** Le point $A$ est l'angle $\widehat{BAC}$, donc on considère le triangle rectangle en $B$. - $\cos \widehat{BAC} = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\sin \widehat{BAC} = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$ - $\tan \widehat{BAC} = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\cancel{1}}{\cancel{\sqrt{3}}}$ 6. **Simplification de $\tan \widehat{BAC}$ :** $$\tan \widehat{BAC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ --- 7. **Calcul de $\cos \widehat{ACB}$, $\sin \widehat{ACB}$ et $\tan \widehat{ACB}$ :** L'angle $\widehat{ACB}$ est à $C$, donc dans le triangle rectangle en $B$ : - $\cos \widehat{ACB} = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$ - $\sin \widehat{ACB} = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\tan \widehat{ACB} = \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$ --- 8. **Calcul de $BD$ sachant que $D$ est sur la demi-droite $[AB]$ et $DC = 3$ :** On sait que $AB = \sqrt{3}$ et $BC = 1$. Le point $D$ est sur la droite passant par $A$ et $B$, étendu au-delà de $B$. Calculons $BD$ en utilisant la distance $DC = 3$. Utilisons la relation de la distance dans le triangle $BDC$ : $$BD = ?$$ On peut utiliser la relation de la droite : $$BD = DC - BC = 3 - 1 = 2$$ Mais il faut vérifier la position de $D$. Puisque $D$ est sur la demi-droite $[AB]$ au-delà de $B$, alors : $$BD = DC - BC = 3 - 1 = 2$$ Donc, $BD = 2$. --- **Réponses finales :** - Le triangle ABC est rectangle en $B$. - $\cos \widehat{BAC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \widehat{BAC} = \frac{1}{2}$, $\tan \widehat{BAC} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. - $\cos \widehat{ACB} = \frac{1}{2}$, $\sin \widehat{ACB} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan \widehat{ACB} = \sqrt{3}$. - $BD = 2$.