1. **Énoncé du problème** : Dans un triangle, l'angle au sommet vaut 0,6°. Les côtés adjacents à cet angle sont $b=200$ m et $c$ est supérieur à $b$ de 0,1 %. Il faut calculer le troisième côté $a$ et l'angle $C$. 2. **Formule utilisée** : On utilise la loi des cosinus qui relie les côtés et l'angle opposé : $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$$ avec $A=0,6^\circ$. 3. **Calcul de $c$** : $$c = b + 0{,}1\% \times b = 200 + 0{,}001 \times 200 = 200 + 0{,}2 = 200{,}2$$ 4. **Calcul de $a$** : $$a^2 = 200^2 + 200{,}2^2 - 2 \times 200 \times 200{,}2 \times \cos(0{,}6^\circ)$$ Calculons chaque terme : $$200^2 = 40000$$ $$200{,}2^2 = 40080{,}04$$ $$\cos(0{,}6^\circ) \approx \cos(0{,}6 \times \frac{\pi}{180}) \approx 0{,}999945$$ $$2 \times 200 \times 200{,}2 \times 0{,}999945 \approx 80079{,}2$$ Donc : $$a^2 = 40000 + 40080{,}04 - 80079{,}2 = 0{,}84$$ 5. **Valeur de $a$** : $$a = \sqrt{0{,}84} \approx 0{,}9165 \text{ m}$$ 6. **Calcul de l'angle $C$** : On utilise la loi des cosinus pour trouver $C$ : $$\cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$ Substituons les valeurs : $$\cos(C) = \frac{0{,}84 + 40000 - 40080{,}04}{2 \times 0{,}9165 \times 200} = \frac{-79{,}2}{366{,}6} \approx -0{,}216$$ 7. **Valeur de $C$** : $$C = \arccos(-0{,}216) \approx 102{,}5^\circ$$ **Réponse finale** : Le troisième côté $a$ mesure environ $0{,}92$ m et l'angle $C$ vaut environ $102{,}5^\circ$.