1. **Planteamiento del problema:** Tenemos un triángulo rectángulo con ángulos agudos $A$ y $B$. Se pide calcular el valor de $$\sin A \cotg B = \left( \begin{array}{cc} \sin A & \cos A \\ \csc B & \sec B \end{array} \right)$$ y elegir la respuesta correcta entre las opciones dadas. 2. **Recordemos las definiciones y relaciones trigonométricas importantes:** - En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos $A$ y $B$ cumplen que $A + B = 90^\circ$. - Por lo tanto, $B = 90^\circ - A$. - Sabemos que $\cotg B = \frac{\cos B}{\sin B}$. - Además, $\sin B = \cos A$ y $\cos B = \sin A$ porque $B = 90^\circ - A$. 3. **Calculemos $\sin A \cotg B$ usando las identidades:** $$\sin A \cotg B = \sin A \cdot \frac{\cos B}{\sin B} = \sin A \cdot \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\sin^2 A}{\cos A}$$ 4. **Para encontrar un valor numérico, necesitamos un valor para $\sin A$ o $\cos A$.** 5. **Probemos con las opciones dadas para $\sin A$ y verifiquemos cuál satisface la expresión:** - Opción A: $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$, entonces $$\frac{\sin^2 A}{\cos A} = \frac{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}{\cos A} = \frac{\frac{3}{4}}{\cos A}$$ Pero $\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$. Entonces, $$\frac{3/4}{1/2} = \frac{3}{4} \times 2 = \frac{3}{2} = 1.5$$ 6. **Por lo tanto, el valor de $\sin A \cotg B$ es $1.5$, que corresponde a la opción B.** --- **Para el problema 18:** 1. **Planteamiento:** Calcular $$K = 13 \cos \theta - \sin \theta$$ dado que el vector tiene coordenadas $(-2, -3)$ y forma un ángulo $\theta$ con el eje positivo $x$. 2. **Recordemos que para un vector $\vec{v} = (x,y)$, el coseno y seno del ángulo $\theta$ que forma con el eje $x$ son:** $$\cos \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad \sin \theta = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$$ 3. **Calculemos la magnitud del vector:** $$\sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$ 4. **Calculemos $\cos \theta$ y $\sin \theta$:** $$\cos \theta = \frac{-2}{\sqrt{13}}, \quad \sin \theta = \frac{-3}{\sqrt{13}}$$ 5. **Sustituyamos en la expresión de $K$:** $$K = 13 \cdot \frac{-2}{\sqrt{13}} - \frac{-3}{\sqrt{13}} = \frac{-26}{\sqrt{13}} + \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{-26 + 3}{\sqrt{13}} = \frac{-23}{\sqrt{13}}$$ 6. **Simplificamos racionalizando el denominador:** $$K = \frac{-23}{\sqrt{13}} \times \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = \frac{-23 \sqrt{13}}{13}$$ **Respuesta final:** - Para el problema 17, la respuesta correcta es $1.5$ (opción B). - Para el problema 18, $$K = \frac{-23 \sqrt{13}}{13}$$.