1. Énoncé du problème : On a \( \csc x = \frac{2\sqrt{3}}{3} \) avec \( x \in [0, \frac{\pi}{2}] \). Trouver : a. \( \cos x \) b. \( \tan x \) c. \( \sec x \) 2. Rappel des formules importantes : - \( \csc x = \frac{1}{\sin x} \) - \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) - \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) - \( \sec x = \frac{1}{\cos x} \) 3. Calcul de \( \sin x \) : \[ \sin x = \frac{1}{\csc x} = \frac{1}{\frac{2\sqrt{3}}{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} \] 4. Simplification de \( \sin x \) : \[ \sin x = \frac{3}{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 5. Calcul de \( \cos x \) avec \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) : \[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \] 6. Donc : \[ \cos x = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \] (On prend la valeur positive car \( x \in [0, \frac{\pi}{2}] \)) 7. Calcul de \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \) 8. Calcul de \( \sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \) --- Problème 2 : Déterminer la valeur exacte de \( \sin \left( \frac{3\pi}{8} \right) \) 9. Utilisation de la formule d'angle moitié : \[ \sin \left( \frac{3\pi}{8} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{8} \right) \] 10. Calcul de \( \cos \left( \frac{\pi}{8} \right) \) avec la formule d'angle moitié : \[ \cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}} \] avec \( \theta = \frac{\pi}{4} \) car \( \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} / 2 \) 11. \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), donc : \[ \cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \] 12. Conclusion : \[ \sin \left( \frac{3\pi}{8} \right) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \] Réponses finales : a. \( \cos x = \frac{1}{2} \) b. \( \tan x = \sqrt{3} \) c. \( \sec x = 2 \) Valeur exacte : \( \sin \left( \frac{3\pi}{8} \right) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \)