1. **Énoncé du problème :** Calculer l'expression $$\cos^2(45^\circ) - \sin^2(-270^\circ) \times \tan^2(240^\circ)$$ sans calculatrice. 2. **Rappel des formules et règles importantes :** - $$\cos^2(\theta) = (\cos(\theta))^2$$ - $$\sin^2(\theta) = (\sin(\theta))^2$$ - $$\tan^2(\theta) = (\tan(\theta))^2$$ - Les angles négatifs et supérieurs à 360° peuvent être ramenés dans l'intervalle $$[0^\circ, 360^\circ]$$ en ajoutant ou soustrayant 360°. 3. **Calcul des valeurs trigonométriques :** - $$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ donc $$\cos^2(45^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ - Pour $$\sin(-270^\circ)$$, on ajoute 360° pour obtenir $$\sin(90^\circ) = 1$$ donc $$\sin^2(-270^\circ) = 1^2 = 1$$ - Pour $$\tan(240^\circ)$$, on sait que $$240^\circ = 180^\circ + 60^\circ$$, donc $$\tan(240^\circ) = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$$ mais dans le troisième quadrant, la tangente est positive, donc $$\tan(240^\circ) = \sqrt{3}$$ Donc $$\tan^2(240^\circ) = (\sqrt{3})^2 = 3$$ 4. **Substitution dans l'expression :** $$\cos^2(45^\circ) - \sin^2(-270^\circ) \times \tan^2(240^\circ) = \frac{1}{2} - 1 \times 3$$ 5. **Simplification :** $$= \frac{1}{2} - 3 = \frac{1}{2} - \frac{6}{2} = \frac{1 - 6}{2} = \frac{-5}{2}$$ **Réponse finale :** $$\boxed{-\frac{5}{2}}$$