1. **Énoncé du problème :** Transformer l'expression $\sqrt{3} \cos x - \sin x$. 2. **Formule utilisée :** On peut exprimer une combinaison linéaire de cosinus et sinus sous la forme $R \cos(x + \alpha)$ ou $R \sin(x + \beta)$, où $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ pour $a \cos x + b \sin x$. 3. **Calcul de $R$ :** $$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$ 4. **Détermination de l'angle $\alpha$ :** On cherche $\alpha$ tel que $$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \alpha = \frac{1}{2}$$ Cela correspond à $\alpha = \frac{\pi}{6}$. 5. **Réécriture de l'expression :** $$\sqrt{3} \cos x - \sin x = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x \right) = 2 \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$ --- 1. **Énoncé du problème :** Soit $f(x) = \sqrt{3} (4 \cos^4 x + \sin^2 2x) - 2 \sin 2x$. 2. **Calcul de $f(\frac{\pi}{2})$ :** - $\cos \frac{\pi}{2} = 0$, donc $\cos^4 \frac{\pi}{2} = 0$ - $\sin 2 \times \frac{\pi}{2} = \sin \pi = 0$ - $\sin^2 2 \times \frac{\pi}{2} = 0$ Donc $$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{3} (4 \times 0 + 0) - 2 \times 0 = 0$$ 3. **Calcul de $f(\frac{\pi}{3})$ :** - $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, donc $\cos^4 \frac{\pi}{3} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$ - $\sin 2 \times \frac{\pi}{3} = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\sin^2 2 \times \frac{\pi}{3} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$ Donc $$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \left(4 \times \frac{1}{16} + \frac{3}{4}\right) - 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \left(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}\right) - \sqrt{3} = \sqrt{3} \times 1 - \sqrt{3} = 0$$ 4. **Montrer que $4 \cos^4 x = 4 \cos^2 x - \sin^2 2x$ :** - On sait que $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, donc $$\sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x$$ - Or, $\cos^4 x = (\cos^2 x)^2$, donc $$4 \cos^4 x = 4 (\cos^2 x)^2$$ - Utilisons l'identité $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ : $$4 \cos^2 x - \sin^2 2x = 4 \cos^2 x - 4 \sin^2 x \cos^2 x = 4 \cos^2 x (1 - \sin^2 x) = 4 \cos^2 x \cos^2 x = 4 \cos^4 x$$ 5. **En déduire que $f(x) = 4 \cos x (\sqrt{3} \cos x - \sin x)$ :** - Remplaçons $4 \cos^4 x$ par $4 \cos^2 x - \sin^2 2x$ dans $f(x)$ : $$f(x) = \sqrt{3} (4 \cos^2 x - \sin^2 2x + \sin^2 2x) - 2 \sin 2x = \sqrt{3} \times 4 \cos^2 x - 2 \sin 2x$$ - Factorisons : $$f(x) = 4 \sqrt{3} \cos^2 x - 2 \sin 2x$$ - Sachant que $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, on peut écrire $$f(x) = 4 \cos x (\sqrt{3} \cos x) - 2 \times 2 \sin x \cos x = 4 \cos x (\sqrt{3} \cos x - \sin x)$$ 6. **Résoudre $f(x) = 0$ sur $[-\pi, \pi]$ :** - L'équation $f(x) = 0$ revient à $$4 \cos x (\sqrt{3} \cos x - \sin x) = 0$$ - Donc soit $$\cos x = 0$$ soit $$\sqrt{3} \cos x - \sin x = 0 \Rightarrow \sqrt{3} \cos x = \sin x \Rightarrow \tan x = \sqrt{3}$$ - Solutions pour $\cos x = 0$ dans $[-\pi, \pi]$ : $$x = -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$$ - Solutions pour $\tan x = \sqrt{3}$ dans $[-\pi, \pi]$ : $$x = \frac{\pi}{3}, x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$$ 7. **Représentation sur le cercle trigonométrique :** - Les points correspondants sont les angles $-\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ sur le cercle unité. --- **Réponse finale :** $$\sqrt{3} \cos x - \sin x = 2 \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$ $$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, \quad f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0$$ $$4 \cos^4 x = 4 \cos^2 x - \sin^2 2x$$ $$f(x) = 4 \cos x (\sqrt{3} \cos x - \sin x)$$ Solutions de $f(x) = 0$ sur $[-\pi, \pi]$ : $$x \in \left\{-\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right\}$$