1. **Aufgabe 10:** Zwei Winkel haben denselben Kosinuswert, wenn sie zueinander komplementär bezüglich 360° sind, also $\cos(\theta) = \cos(360^\circ - \theta)$. Gegebene Winkel: 220°, 200°, 250°, 10°, 170°, 140°, 110°, 350°, 60°, 190°, 210°, 150°, 300°, 160°. Paare mit gleichem Kosinuswert: - 10° und 350° (weil $350^\circ = 360^\circ - 10^\circ$) - 60° und 300° ($300^\circ = 360^\circ - 60^\circ$) - 110° und 250° ($250^\circ = 360^\circ - 110^\circ$) - 140° und 220° ($220^\circ = 360^\circ - 140^\circ$) - 150° und 210° ($210^\circ = 360^\circ - 150^\circ$) - 160° und 200° ($200^\circ = 360^\circ - 160^\circ$) - 170° und 190° ($190^\circ = 360^\circ - 170^\circ$) **Beobachtung:** Die Winkelpaare ergänzen sich zu 360°, was zeigt, dass $\cos(\theta) = \cos(360^\circ - \theta)$ gilt. 2. **Aufgabe 11:** Gesucht ist ein Intervall, in dem die Sinuskurve unterhalb der $\alpha$-Achse liegt (also $\sin(\alpha) < 0$), gleichzeitig steigt ($\sin'(\alpha) = \cos(\alpha) > 0$), und die Kosinuskurve oberhalb der Sinuskurve liegt ($\cos(\alpha) > \sin(\alpha)$). - Sinus negativ und steigend: $\alpha \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ oder $(180^\circ, 270^\circ)$ - Kosinus größer als Sinus: Im Intervall $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ ist $\cos(\alpha)$ positiv oder negativ? $\cos(\alpha)$ ist negativ hier, aber wir prüfen $\cos(\alpha) > \sin(\alpha)$. Test bei $210^\circ$: $\sin(210^\circ) = -\frac{1}{2} = -0.5$ $\cos(210^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866$ $\cos(210^\circ) < \sin(210^\circ)$, also nicht erfüllt. Test bei $270^\circ$: $\sin(270^\circ) = -1$ $\cos(270^\circ) = 0$ $0 > -1$ erfüllt. Also Intervall ist näher an $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$, aber Sinus ist hier positiv. Korrektur: Sinus negativ und steigend ist im Intervall $(\pi, \frac{3\pi}{2})$, aber Kosinus ist hier kleiner als Sinus. Betrachte stattdessen $\alpha \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$: - Sinus negativ und steigend: $\sin(\alpha) < 0$ und $\cos(\alpha) > 0$ - Kosinus größer als Sinus: $\cos(\alpha) > \sin(\alpha)$ Dies ist erfüllt im Intervall $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$ oder $(270^\circ, 360^\circ)$. 3. **Aufgabe 12:** a) Sinusfunktion positiv und steigend: - $\sin(\alpha) > 0$ und $\cos(\alpha) > 0$ - Intervall: $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ oder $(0^\circ, 90^\circ)$ b) Sinusfunktion negativ und steigend: - $\sin(\alpha) < 0$ und $\cos(\alpha) > 0$ - Intervall: $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$ oder $(270^\circ, 360^\circ)$ c) Kosinusfunktion positiv und fallend: - $\cos(\alpha) > 0$ und $-\sin(\alpha) < 0$ (da Ableitung von $\cos$ ist $-\sin$) - $\sin(\alpha) > 0$ - Intervall: $\left(0, \pi\right)$ oder $(0^\circ, 180^\circ)$ d) Kosinusfunktion negativ und steigend: - $\cos(\alpha) < 0$ und $-\sin(\alpha) > 0$ (also $\sin(\alpha) < 0$) - Intervall: $\left(\pi, 2\pi\right)$ oder $(180^\circ, 360^\circ)$ 4. **Aufgabe 13:** a) Sinus und Kosinus haben denselben Wert, wenn $\sin(\alpha) = \cos(\alpha)$, also bei $\alpha = 45^\circ + k \cdot 180^\circ$. b) Entgegengesetzt gleiche Werte: $\sin(\alpha) = -\cos(\alpha)$, also $\alpha = 135^\circ + k \cdot 180^\circ$. c) Sinus größer als Kosinus: $\sin(\alpha) > \cos(\alpha)$, z.B. im Intervall $(45^\circ, 135^\circ)$. d) Sinus kleiner als Kosinus: $\sin(\alpha) < \cos(\alpha)$, z.B. im Intervall $(0^\circ, 45^\circ)$ und $(135^\circ, 360^\circ)$. 5. **Aufgabe 14:** Bestimme Winkel $\alpha$ für gegebene Werte. a) Für $\sin \alpha = -0.1, -0.86, -0.66, -0.95$ gibt es jeweils zwei Lösungen im Intervall $[0^\circ, 360^\circ]$. Beispiel für $\sin \alpha = -0.1$: $$\alpha_1 = \arcsin(-0.1) \approx -5.7^\circ + 360^\circ = 354.3^\circ$$ $$\alpha_2 = 180^\circ - (-5.7^\circ) = 185.7^\circ$$ Analog für andere Werte. b) Für $\cos \alpha = -0.33, -0.88, -0.45, -0.06$ ebenfalls zwei Lösungen: Beispiel für $\cos \alpha = -0.33$: $$\alpha_1 = \arccos(-0.33) \approx 109.3^\circ$$ $$\alpha_2 = 360^\circ - 109.3^\circ = 250.7^\circ$$ 6. **Aufgabe 15:** Zeichne Sinuskurve mit 2 cm Einheit auf 12 cm Länge (entspricht $360^\circ$) und 6 cm Höhe (Amplitude 3 cm). Zerschneide in Rechtecke gleicher Höhe (z.B. 1 cm Höhe pro Rechteck). Durch Drehung um 180° können neue Kurven ohne Knick entstehen, Anzahl hängt von Anzahl der Rechtecke und Symmetrie ab. **Zusammenfassung:** - Aufgabe 10: Paare mit gleichem Kosinus sind Winkel, die sich zu 360° ergänzen. - Aufgabe 11: Intervall $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$ erfüllt Bedingungen. - Aufgabe 12: Intervalle für Sinus/Kosinus positiv/negativ und steigend/fallend angegeben. - Aufgabe 13: Winkel für gleiche und entgegengesetzt gleiche Werte von Sinus und Kosinus bestimmt. - Aufgabe 14: Winkel für gegebene Sinus- und Kosinuswerte berechnet. - Aufgabe 15: Sinuskurve gezeichnet und zerschnitten, Anzahl Kurven ohne Knick abhängig von Symmetrie.