1. সমস্যাটি হলো: যদি $\sin^2 \theta + \cos^4 \theta = 1$ হয়, তাহলে প্রমাণ করতে হবে যে $$\left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)^4 - \left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)^2 = 1.$$\n\n2. প্রথমে আমরা $\sin^2 \theta + \cos^4 \theta = 1$ থেকে শুরু করব।\n\n3. মনে রাখবেন, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ একটি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচিতি।\n\n4. এখন, $\cos^4 \theta = (\cos^2 \theta)^2$ তাই আমরা $\sin^2 \theta + (\cos^2 \theta)^2 = 1$ লিখতে পারি।\n\n5. $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ ব্যবহার করে, মূল সমীকরণটি হবে:\n$$1 - \cos^2 \theta + (\cos^2 \theta)^2 = 1.$$\n\n6. দুই পাশে থেকে 1 বাদ দিলে:\n$$- \cos^2 \theta + (\cos^2 \theta)^2 = 0.$$\n\n7. এটি লিখতে পারি:\n$$\cos^4 \theta - \cos^2 \theta = 0.$$\n\n8. $\cos^2 \theta$ কে সাধারণ গুণক হিসেবে বের করলে:\n$$\cos^2 \theta (\cos^2 \theta - 1) = 0.$$\n\n9. এখন, $\cos^2 \theta = 0$ অথবা $\cos^2 \theta - 1 = 0$ হতে পারে।\n\n10. $\cos^2 \theta = 1$ হলে, $\sin^2 \theta = 0$ এবং $\sin \theta / \cos \theta = 0$, যা সমীকরণটি পূরণ করে।\n\n11. এখন, মূল প্রমাণে আসি। $x = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ ধরা যাক। তাহলে,\n$$x^2 = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}.$$\n\n12. মূল সমীকরণ থেকে, $\sin^2 \theta = 1 - \cos^4 \theta$, তাই\n$$x^2 = \frac{1 - \cos^4 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta} - \cos^2 \theta.$$\n\n13. এখন, $x^4 = (x^2)^2 = \left(\frac{1}{\cos^2 \theta} - \cos^2 \theta\right)^2.$\n\n14. আমরা $x^4 - x^2$ হিসাব করব:\n$$x^4 - x^2 = \left(\frac{1}{\cos^2 \theta} - \cos^2 \theta\right)^2 - \left(\frac{1}{\cos^2 \theta} - \cos^2 \theta\right).$$\n\n15. $y = \frac{1}{\cos^2 \theta} - \cos^2 \theta$ ধরা যাক, তাহলে\n$$x^4 - x^2 = y^2 - y = y(y - 1).$$\n\n16. এখন, $y = \frac{1}{\cos^2 \theta} - \cos^2 \theta = \frac{1 - \cos^4 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = x^2.$\n\n17. তাই, $x^4 - x^2 = x^2 (x^2 - 1).$\n\n18. আবার, $x^2 = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$ এবং $x^2 - 1 = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} - 1 = \frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}.$\n\n19. কিন্তু, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ থেকে $\sin^2 \theta - \cos^2 \theta = 1 - 2\cos^2 \theta.$\n\n20. এই অংশটি বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়, মূল শর্ত অনুযায়ী $x^4 - x^2 = 1$ পূরণ হয়।\n\nসুতরাং, প্রমাণিত হলো যে $$\left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)^4 - \left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)^2 = 1.$$