1. مسئله (الف): اگر $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ و زاویه $\alpha$ در ربع دوم باشد، مقدار $\cos \alpha$ و $\tan \alpha$ را بیابید. 2. فرمول‌های مورد استفاده: - رابطه مثلثاتی اصلی: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ - تعریف تانژانت: $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$ 3. محاسبه $\cos \alpha$: $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$ 4. چون زاویه $\alpha$ در ربع دوم است و در ربع دوم $\cos$ منفی است، پس: $$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$$ 5. محاسبه $\tan \alpha$: $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{-4} = -\frac{3}{4}$$ --- 6. مسئله (ب): بررسی درستی تساوی $$\frac{1 - \cos^2 \theta}{1 + \sin \theta} = \sin \theta$$ 7. استفاده از رابطه مثلثاتی اصلی: $$1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$$ 8. جایگذاری در تساوی: $$\frac{\sin^2 \theta}{1 + \sin \theta}$$ 9. ساده‌سازی کسر: $$\frac{\sin^2 \theta}{1 + \sin \theta} = \frac{\sin \theta \times \sin \theta}{1 + \sin \theta} = \sin \theta \times \frac{\sin \theta}{1 + \sin \theta}$$ 10. توجه کنید که: $$\frac{\sin \theta}{1 + \sin \theta} \neq 1$$ 11. بنابراین تساوی داده شده به طور کلی درست نیست مگر در شرایط خاصی که: $$\sin \theta = 0$$ 12. نتیجه: - تساوی داده شده به طور کلی صحیح نیست. پاسخ نهایی: - $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$ - $\tan \alpha = -\frac{3}{4}$ - تساوی داده شده در قسمت (ب) به طور کلی نادرست است.