1. Énoncé du problème : On a $ \csc x = \frac{2\sqrt{3}}{3} $ avec $ x \in [0, \frac{\pi}{2}] $. On doit trouver : a. $ \cos x $ b. $ \tan x $ c. $ \sec x $ 2. Rappel des formules importantes : - $ \csc x = \frac{1}{\sin x} $ - $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ - $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $ - $ \sec x = \frac{1}{\cos x} $ 3. Trouvons $ \sin x $ à partir de $ \csc x $ : $$ \sin x = \frac{1}{\csc x} = \frac{1}{\frac{2\sqrt{3}}{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} $$ 4. Simplifions $ \sin x $ en rationalisant le dénominateur : $$ \sin x = \frac{3}{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ 5. Calculons $ \cos x $ avec l'identité trigonométrique : $$ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $$ $$ \cos x = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} $$ (On prend la valeur positive car $ x \in [0, \frac{\pi}{2}] $) 6. Calculons $ \tan x $ : $$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{1} = \sqrt{3} $$ 7. Calculons $ \sec x $ : $$ \sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 $$ --- 8. Déterminons la valeur exacte de $ \sin \left( \frac{3\pi}{8} \right) $ : 9. Utilisons la formule d'angle moitié : $$ \sin \left( \frac{3\pi}{8} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) $$ avec $ \theta = \frac{\pi}{8} $. 10. Rappel de la formule : $$ \sin \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) = \cos \theta $$ 11. Donc : $$ \sin \left( \frac{3\pi}{8} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{8} \right) $$ 12. Calculons $ \cos \left( \frac{\pi}{8} \right) $ avec la formule d'angle moitié : $$ \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} $$ avec $ \alpha = \frac{\pi}{4} $ car $ \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} / 2 $. 13. Sachant que $ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, on a : $$ \cos \left( \frac{\pi}{8} \right) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} $$ Réponses finales : a. $ \cos x = \frac{1}{2} $ b. $ \tan x = \sqrt{3} $ c. $ \sec x = 2 $ Valeur exacte : $$ \sin \left( \frac{3\pi}{8} \right) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} $$