1. **Problem 10:** Zwei Winkel mit demselben Kosinuswert finden. Gegeben sind Winkel: 220°, 200°, 250°, 10°, 170°, 140°, 110°, 350°, 60°, 190°, 210°, 150°, 300°, 160°. Formel: Für Winkel $\alpha$ und $\beta$ gilt $\cos \alpha = \cos \beta$ wenn $\beta = 360^\circ - \alpha$ oder $\beta = \alpha$. Wichtig: Kosinus ist eine gerade Funktion bezüglich 0°, d.h. $\cos \alpha = \cos (360^\circ - \alpha)$. Paare mit gleichem Kosinus: - 10° und 350° ($\cos 10^\circ = \cos 350^\circ$) - 60° und 300° - 110° und 250° - 140° und 220° - 150° und 210° - 160° und 200° - 170° und 190° **Beobachtung:** Die Winkelpaare ergänzen sich zu 360°. 2. **Problem 11:** Intervall, in dem Sinus unterhalb der x-Achse liegt, steigt und Kosinus oberhalb des Sinus liegt. Sinus ist unterhalb der x-Achse für $\alpha \in (180^\circ, 360^\circ)$. Sinus steigt in $(270^\circ, 360^\circ)$. Kosinus liegt oberhalb des Sinus, z.B. im Intervall $\alpha \in (270^\circ, 315^\circ)$. 3. **Problem 12:** Intervalle aus dem Graphen bestimmen. a) Sinus positiv und steigend: $\alpha \in (0^\circ, 90^\circ)$ b) Sinus negativ und steigend: $\alpha \in (270^\circ, 360^\circ)$ c) Kosinus positiv und fallend: $\alpha \in (0^\circ, 90^\circ)$ d) Kosinus negativ und steigend: $\alpha \in (90^\circ, 180^\circ)$ 4. **Problem 13:** Fragen zu Sinus und Kosinus anhand Zeichnung. a) $\sin \alpha = \cos \alpha$ bei $\alpha = 45^\circ, 225^\circ$ b) $\sin \alpha = -\cos \alpha$ bei $\alpha = 135^\circ, 315^\circ$ c) $\sin \alpha > \cos \alpha$ in Intervallen $(45^\circ, 135^\circ)$ und $(225^\circ, 315^\circ)$ d) $\sin \alpha < \cos \alpha$ in Intervallen $(0^\circ, 45^\circ)$, $(135^\circ, 225^\circ)$, $(315^\circ, 360^\circ)$ 5. **Problem 14:** Winkel $\alpha$ bestimmen, gerundet auf 1 Dezimalstelle. Formel: $\alpha = \arcsin(y)$ oder $\alpha = 180^\circ - \arcsin(y)$ für Sinus. Für Cosinus: $\alpha = \arccos(y)$ oder $\alpha = 360^\circ - \arccos(y)$. Berechnungen (in Grad): a) sin $\alpha = -0{,}1$: $\alpha_1 = \arcsin(-0{,}1) = -5{,}7^\circ \Rightarrow 354{,}3^\circ$ (im Bereich $[0,360)$) $\alpha_2 = 180^\circ - (-5{,}7^\circ) = 185{,}7^\circ$ sin $\alpha = -0{,}86$: $\alpha_1 = \arcsin(-0{,}86) = -59{,}5^\circ \Rightarrow 300{,}5^\circ$ $\alpha_2 = 180^\circ - (-59{,}5^\circ) = 239{,}5^\circ$ sin $\alpha = -0{,}66$: $\alpha_1 = \arcsin(-0{,}66) = -41{,}3^\circ \Rightarrow 318{,}7^\circ$ $\alpha_2 = 180^\circ - (-41{,}3^\circ) = 221{,}3^\circ$ sin $\alpha = -0{,}95$: $\alpha_1 = \arcsin(-0{,}95) = -71{,}8^\circ \Rightarrow 288{,}2^\circ$ $\alpha_2 = 180^\circ - (-71{,}8^\circ) = 251{,}8^\circ$ b) cos $\alpha = -0{,}33$: $\alpha_1 = \arccos(-0{,}33) = 109{,}3^\circ$ $\alpha_2 = 360^\circ - 109{,}3^\circ = 250{,}7^\circ$ cos $\alpha = -0{,}88$: $\alpha_1 = \arccos(-0{,}88) = 151{,}8^\circ$ $\alpha_2 = 360^\circ - 151{,}8^\circ = 208{,}2^\circ$ cos $\alpha = -0{,}45$: $\alpha_1 = \arccos(-0{,}45) = 116{,}7^\circ$ $\alpha_2 = 360^\circ - 116{,}7^\circ = 243{,}3^\circ$ cos $\alpha = -0{,}06$: $\alpha_1 = \arccos(-0{,}06) = 93{,}4^\circ$ $\alpha_2 = 360^\circ - 93{,}4^\circ = 266{,}6^\circ$ 6. **Problem 15:** Sinuskurve auf 12 cm Länge mit 2 cm Einheit zeichnen. 12 cm / 2 cm = 6 Einheiten (Periodenabschnitte). Kurve in Rechtecke zerschneiden, neu zusammensetzen mit Drehung 180° erlaubt. Ohne Knick: 1 Kurve (ganze Periode) Mit Knick: Mehrere Kurven möglich, abhängig von Anzahl der Rechtecke und Drehungen. **Endantworten:** 10: Paare mit gleichem Kosinus sind Winkel, die sich zu 360° ergänzen. 11: Intervall $\approx (270^\circ, 315^\circ)$ 12a: $(0^\circ, 90^\circ)$ 12b: $(270^\circ, 360^\circ)$ 12c: $(0^\circ, 90^\circ)$ 12d: $(90^\circ, 180^\circ)$ 13a: $45^\circ, 225^\circ$ 13b: $135^\circ, 315^\circ$ 13c: $(45^\circ, 135^\circ), (225^\circ, 315^\circ)$ 13d: $(0^\circ, 45^\circ), (135^\circ, 225^\circ), (315^\circ, 360^\circ)$ 14a: $\alpha_1, \alpha_2$ siehe oben 14b: $\alpha_1, \alpha_2$ siehe oben 15: Ohne Knick 1 Kurve, mit Knick mehrere Kurven möglich.