1) Изразити a) $\sin^2 2\pi + \cos^2 \pi - 2 \cdot \cos \frac{\pi}{6}$ 2) Изразити б) $\sin \frac{\pi}{2} - 2 \cos^2 \frac{\pi}{2} + \sin^2 \frac{\pi}{4}$ 3) Ако је $\sin d = \frac{3}{5}$ и $d \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ израчунати $\cos d$ 4) Пронаћи да важи $\cos \left(\frac{\pi}{2} - d\right) = \sin d$ 5) Изразити $\sin\left(\frac{\pi}{4} - d\right)$ ако је $\cos d = \frac{5}{13}$ и $d \in \left(\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]$ 6) Пронаћи да важи a) $\cos 2d = 2 \cos^2 d - 1$ б) $2 \sin^2 d + \cos 2d = 1$ 7) Претворити у тригонометријски облик број: $z = \sqrt{3} + i$ --- **Решење:** 1) a) Користимо идентитет $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и вредности тригонометријских функција: $\sin^2 2\pi = 0^2 = 0$ $\cos^2 \pi = (-1)^2 = 1$ $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Заменимо у израз: $$0 + 1 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - \sqrt{3}$$ 1) б) Израчунамо вредности: $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ $\cos \frac{\pi}{2} = 0 \Rightarrow \cos^2 \frac{\pi}{2} = 0$ $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \sin^2 \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}$ Заменимо у израз: $$1 - 2 \cdot 0 + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$ 2) Дато је $\sin d = \frac{3}{5}$ и $d \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ (други квадрант где је косинус негативан). Користимо формулу: $$\sin^2 d + \cos^2 d = 1 \Rightarrow \cos^2 d = 1 - \sin^2 d = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$ Пошто је $d$ у другом квадранту, $\cos d < 0$, дакле: $$\cos d = -\frac{4}{5}$$ 3) Докажимо да важи: $$\cos \left(\frac{\pi}{2} - d\right) = \sin d$$ Користимо формулу за косинус разлике: $$\cos \left(\frac{\pi}{2} - d\right) = \cos \frac{\pi}{2} \cos d + \sin \frac{\pi}{2} \sin d = 0 \cdot \cos d + 1 \cdot \sin d = \sin d$$ 4) Израчунајмо $\sin\left(\frac{\pi}{4} - d\right)$ ако је $\cos d = \frac{5}{13}$ и $d \in \left(\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]$. Прво нађемо $\sin d$. Пошто је $d$ у трећем или четвртом квадранту, где је синус негативан (у трећем је негативан, у четвртом је негативан), али $\cos d$ је позитиван само у четвртом квадранту, а $\frac{5}{13} > 0$, дакле $d$ је у четвртом квадранту, где је $\sin d < 0$. Користимо: $$\sin^2 d = 1 - \cos^2 d = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$ Дакле: $$\sin d = -\frac{12}{13}$$ Користимо формулу за синус разлике: $$\sin\left(\frac{\pi}{4} - d\right) = \sin \frac{\pi}{4} \cos d - \cos \frac{\pi}{4} \sin d = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{13} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{13} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{12}{13} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{17}{13} = \frac{17 \sqrt{2}}{26}$$ 5) a) Докажимо да важи: $$\cos 2d = 2 \cos^2 d - 1$$ Користимо формулу за дупли угао: $$\cos 2d = \cos^2 d - \sin^2 d = \cos^2 d - (1 - \cos^2 d) = 2 \cos^2 d - 1$$ 5) б) Докажимо да важи: $$2 \sin^2 d + \cos 2d = 1$$ Користимо формулу за $\cos 2d$ као у претходном кораку: $$2 \sin^2 d + \cos 2d = 2 \sin^2 d + (\cos^2 d - \sin^2 d) = 2 \sin^2 d + \cos^2 d - \sin^2 d = \sin^2 d + \cos^2 d = 1$$ 6) Претворити у тригонометријски облик број: $$z = \sqrt{3} + i$$ Прво нађемо модул: $$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$ Затим аргумент: $$\theta = \arctan \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$$ Дакле, тригонометријски облик је: $$z = 2 \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right)$$ --- **Коначни одговори:** 1) a) $1 - \sqrt{3}$ 1) б) $\frac{3}{2}$ 2) $\cos d = -\frac{4}{5}$ 3) $\cos \left(\frac{\pi}{2} - d\right) = \sin d$ 4) $\sin\left(\frac{\pi}{4} - d\right) = \frac{17 \sqrt{2}}{26}$ 5) a) $\cos 2d = 2 \cos^2 d - 1$ 5) б) $2 \sin^2 d + \cos 2d = 1$ 6) $z = 2 \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right)$