1. **Énoncé du problème :** Nous travaillons dans un plan muni d'un repère orthonormé direct (O, I, J). 2. **Construction du cercle trigonométrique et placement des points :** - a) Construis un cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1. - Place le point A correspondant à l'angle $\frac{\pi}{6}$ radians sur ce cercle. - b) Place les points B et D correspondant aux angles $\frac{5\pi}{6}$ et $-\frac{\pi}{6}$ respectivement. 3. **Rappel des valeurs trigonométriques pour $\frac{\pi}{6}$ :** - $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ - $\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 4. **Déductions pour les angles $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{4\pi}{6}$ et $-\frac{\pi}{6}$ :** - Pour $\frac{5\pi}{6}$ : - $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\pi - \frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ - $\tan\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)}{\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ - Pour $\frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ : - $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\pi - \frac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ - $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi - \frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\tan\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}$ - Pour $-\frac{\pi}{6}$ : - $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (car cos est paire) - $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$ (car sin est impaire) - $\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)}{\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ **Réponse finale :** - $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, $\tan\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ - $\cos\left(\frac{4\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$, $\sin\left(\frac{4\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan\left(\frac{4\pi}{6}\right) = -\sqrt{3}$ - $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$, $\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ Ces résultats sont cohérents avec les propriétés des fonctions trigonométriques sur le cercle trigonométrique.