1) Calculer, sans calculatrice : 1.a. Calculer $\cos \frac{11\pi}{12}$ - On utilise la formule de l'angle somme : $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ - Ici, $\frac{11\pi}{12} = \pi - \frac{\pi}{12}$ - Donc $\cos \frac{11\pi}{12} = \cos \left(\pi - \frac{\pi}{12}\right) = -\cos \frac{\pi}{12}$ car $\cos(\pi - x) = -\cos x$ - Calculons $\cos \frac{\pi}{12}$ avec $\frac{\pi}{12} = 15^\circ$ : $\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$ - Valeurs exactes : $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ - Donc $$\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$ - Finalement, $$\cos \frac{11\pi}{12} = - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$ 1.b. Calculer $\sin 20^\circ \cos 25^\circ + \sin 25^\circ \cos 20^\circ$ - On reconnaît la formule de l'angle somme pour le sinus : $$\sin x \cos y + \sin y \cos x = \sin(x + y)$$ - Donc $$\sin 20^\circ \cos 25^\circ + \sin 25^\circ \cos 20^\circ = \sin(20^\circ + 25^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 1.c. Calculer $\sin \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{3\pi}{8} \cdot \sin \frac{5\pi}{12}$ - Utilisons les valeurs exactes : - $\sin \frac{\pi}{12} = \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ (formule similaire à cos 15°) - $\cos \frac{\pi}{8} = \cos 22.5^\circ = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ - $\cos \frac{3\pi}{8} = \cos 67.5^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ - $\sin \frac{5\pi}{12} = \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ - Multiplions les deux cosines : $$\cos \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{3\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \times \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} = \frac{\sqrt{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})}}{4} = \frac{\sqrt{4 - 2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$ - Multiplions les deux sinus : $$\sin \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{6 - 2}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$$ - Donc le produit total est : $$\frac{1}{4} \times \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{16}$$ 2) Exprimer $\tan(3a)$ uniquement en fonction de $\tan a$ - Formule de la tangente de l'angle triple : $$\tan(3a) = \frac{3 \tan a - \tan^3 a}{1 - 3 \tan^2 a}$$ 3) Si $\cos a = \frac{3}{5}$ et $0 < a < \frac{\pi}{2}$, calculer $\cos(2a)$ et préciser le quadrant de $2a$ - Puisque $a$ est dans le premier quadrant, $\sin a > 0$ - Calcul de $\sin a$ : $$\sin a = \sqrt{1 - \cos^2 a} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$ - Formule pour $\cos(2a)$ : $$\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = \left(\frac{3}{5}\right)^2 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$$ - Comme $\cos(2a) < 0$ et $0 < a < \frac{\pi}{2}$, alors $0 < 2a < \pi$ - Plus précisément, $2a$ est dans le deuxième quadrant (car $\cos$ négatif, $\sin$ positif) 4) Vérifier que $\sin(a + b) \sin(a - b) = \sin^2 a - \sin^2 b$ - Utilisons les formules : $$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$$ $$\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$$ - Produit : $$\sin(a + b) \sin(a - b) = (\sin a \cos b + \cos a \sin b)(\sin a \cos b - \cos a \sin b)$$ - C'est une différence de carrés : $$= (\sin a \cos b)^2 - (\cos a \sin b)^2 = \sin^2 a \cos^2 b - \cos^2 a \sin^2 b$$ - Or, $$\sin^2 a - \sin^2 b = \sin^2 a (\cos^2 b + \sin^2 b) - \sin^2 b (\cos^2 a + \sin^2 a)$$ - Comme $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, on a $$\sin^2 a - \sin^2 b = \sin^2 a - \sin^2 b$$ - Pour vérifier l'égalité, on remarque que $$\sin^2 a \cos^2 b - \cos^2 a \sin^2 b = \sin^2 a - \sin^2 b$$ - En fait, on peut écrire $$\sin^2 a - \sin^2 b = (\sin^2 a \cos^2 b + \sin^2 a \sin^2 b) - (\sin^2 b \cos^2 a + \sin^2 b \sin^2 a)$$ - Simplification donne bien l'égalité. 5) Simplifier $\frac{\sin 3a - \sin a}{\cos 3a - \cos a}$ - Utilisons les formules de différence de sinus et cosinus : $$\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}$$ $$\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}$$ - Appliquons avec $A=3a$, $B=a$ : $$\sin 3a - \sin a = 2 \cos \frac{3a + a}{2} \sin \frac{3a - a}{2} = 2 \cos 2a \sin a$$ $$\cos 3a - \cos a = -2 \sin \frac{3a + a}{2} \sin \frac{3a - a}{2} = -2 \sin 2a \sin a$$ - Donc $$\frac{\sin 3a - \sin a}{\cos 3a - \cos a} = \frac{2 \cos 2a \sin a}{-2 \sin 2a \sin a} = \frac{\cancel{2} \cos 2a \cancel{\sin a}}{-\cancel{2} \sin 2a \cancel{\sin a}} = - \frac{\cos 2a}{\sin 2a} = - \cot 2a$$ 6) Vérifier que $\cos \left(\frac{\pi}{5} + x\right) + \cos \left(\frac{2\pi}{5} + x\right) + \cos \left(\frac{3\pi}{5} - x\right) + \cos \left(\frac{4\pi}{5} - x\right)$ est indépendante de $x$ - Regroupons les termes : $$\cos \left(\frac{\pi}{5} + x\right) + \cos \left(\frac{4\pi}{5} - x\right) + \cos \left(\frac{2\pi}{5} + x\right) + \cos \left(\frac{3\pi}{5} - x\right)$$ - Utilisons la formule $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ - Pour les deux premiers : $$2 \cos \frac{\frac{\pi}{5} + x + \frac{4\pi}{5} - x}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{5} + x - (\frac{4\pi}{5} - x)}{2} = 2 \cos \frac{\pi}{2} \cos \frac{2x - \frac{3\pi}{5}}{2} = 2 \times 0 \times \cos(...) = 0$$ - Pour les deux autres : $$2 \cos \frac{\frac{2\pi}{5} + x + \frac{3\pi}{5} - x}{2} \cos \frac{\frac{2\pi}{5} + x - (\frac{3\pi}{5} - x)}{2} = 2 \cos \frac{\pi}{2} \cos \frac{2x - \frac{\pi}{5}}{2} = 0$$ - Donc la somme totale est 0, indépendante de $x$. 7) Vérifier que $\sin a + \sin b + \sin(a + b) = 4 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a}{2} \cos \frac{b}{2}$ - Utilisons la formule de somme de sinus : $$\sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}$$ - Donc $$\sin a + \sin b + \sin(a+b) = 2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} + \sin(a+b)$$ - Écrivons $\sin(a+b)$ comme $$\sin(a+b) = 2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a+b}{2}$$ - Donc $$= 2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} + 2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a+b}{2} = 2 \sin \frac{a+b}{2} \left( \cos \frac{a-b}{2} + \cos \frac{a+b}{2} \right)$$ - Utilisons la formule $\cos X + \cos Y = 2 \cos \frac{X+Y}{2} \cos \frac{X-Y}{2}$ avec $X=\frac{a-b}{2}$, $Y=\frac{a+b}{2}$ : $$\cos \frac{a-b}{2} + \cos \frac{a+b}{2} = 2 \cos \frac{a}{2} \cos \frac{b}{2}$$ - Finalement, $$\sin a + \sin b + \sin(a+b) = 2 \sin \frac{a+b}{2} \times 2 \cos \frac{a}{2} \cos \frac{b}{2} = 4 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a}{2} \cos \frac{b}{2}$$ Réponse finale pour chaque question est donnée dans les étapes.