1. **Énoncé du problème :** Calculer les valeurs exactes de $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)$, $\cos\left(-\frac{13\pi}{6}\right)$, $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)$, et $\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)$. Puis, pour $x \in \left[\frac{\pi}{6}, \pi\right]$ tel que $\sin(x) = \frac{4}{5}$, calculer $\cos(x)$ et $\tan(x)$. 2. **Formules et rappels importants :** - $\sin(\theta)$ et $\cos(\theta)$ sont périodiques de période $2\pi$. - Pour un angle $\theta$, $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$ et $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$. - Pour $\sin(x) = b$ avec $b \in [-1,1]$, solutions générales : $x = a + 2k\pi$ ou $x = \pi - a + 2k\pi$ où $a = \arcsin(b)$. - Pour $\cos(x) = b$ avec $b \in [-1,1]$, solutions générales : $x = a + 2k\pi$ ou $x = -a + 2k\pi$ où $a = \arccos(b)$. - $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ si $\cos(x) \neq 0$. 3. **Calculs :** **a)** Calcul de $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)$ : $\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$ donc $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$. **b)** Calcul de $\cos\left(-\frac{13\pi}{6}\right)$ : $-\frac{13\pi}{6} = -2\pi - \frac{\pi}{6}$ (car $-\frac{13\pi}{6} = -\frac{12\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = -2\pi - \frac{\pi}{6}$). Par périodicité, $\cos\left(-\frac{13\pi}{6}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. **c)** Calcul de $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)$ : $\frac{5\pi}{3} = 2\pi - \frac{\pi}{3}$ donc $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$. **d)** Calcul de $\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)$ : $\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)$. $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$ donc $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$. Donc $\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right) = -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$. **e)** Pour $x \in \left[\frac{\pi}{6}, \pi\right]$ tel que $\sin(x) = \frac{4}{5}$, calculer $\cos(x)$ et $\tan(x)$. On utilise l'identité trigonométrique : $$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$ Donc $$\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$ Comme $x \in \left[\frac{\pi}{6}, \pi\right]$, $\cos(x) \leq 0$ (car cos est négatif dans le 2ème quadrant), donc $$\cos(x) = -\frac{3}{5}$$ Enfin, $$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}$$ 4. **Réponse finale :** $$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$ $$\cos\left(-\frac{13\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$$ $$\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$ $$\cos(x) = -\frac{3}{5}$$ $$\tan(x) = -\frac{4}{3}$$