1. **Énoncé du problème :** Calculer $\cos(\widehat{MPN})$, $\sin(\widehat{MPN})$, et $\tan(\widehat{MPN})$. 2. **Formules et règles importantes :** Pour un angle $\theta$, on a : - $\cos(\theta) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ - $\sin(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ - $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$ 3. **Calculs intermédiaires :** Sans les longueurs ou coordonnées précises des points M, P, N, on ne peut pas calculer directement ces valeurs. Veuillez fournir les mesures ou coordonnées nécessaires. --- 1. **Énoncé du problème :** Soit $x$ un angle aigu tel que $\tan(x) = \sqrt{15}$. 2. **Formule utilisée :** On sait que $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ et que $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$. 3. **Calcul de $\cos(x)$ :** Posons $\cos(x) = c$ et $\sin(x) = s$. On a $\tan(x) = \frac{s}{c} = \sqrt{15}$ donc $s = c \sqrt{15}$. En utilisant $s^2 + c^2 = 1$ : $$ (c \sqrt{15})^2 + c^2 = 1 \\ 15 c^2 + c^2 = 1 \\ 16 c^2 = 1 \\ c^2 = \frac{1}{16} \\ c = \frac{1}{4} \quad \text{(positif car angle aigu)} $$ 4. **Calcul de $\sin(x)$ :** $$ s = c \sqrt{15} = \frac{1}{4} \sqrt{15} = \frac{\sqrt{15}}{4} $$ --- 1. **Énoncé du problème :** Simplifier l'expression : $$ K = \cos^2(7^\circ) + \sin^2(5^\circ) + \cos^2(83^\circ) + \sin^2(85^\circ) $$ 2. **Rappel de la formule trigonométrique :** Pour tout angle $\theta$, $$ \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 $$ 3. **Simplification :** $$ K = \cos^2(7^\circ) + \sin^2(5^\circ) + \cos^2(83^\circ) + \sin^2(85^\circ) $$ On remarque que $\sin^2(5^\circ) = \cos^2(85^\circ)$ car $\sin(\alpha) = \cos(90^\circ - \alpha)$. Donc, $$ K = \cos^2(7^\circ) + \cos^2(85^\circ) + \cos^2(83^\circ) + \sin^2(85^\circ) $$ Mais $\cos^2(85^\circ) + \sin^2(85^\circ) = 1$. Donc, $$ K = \cos^2(7^\circ) + 1 + \cos^2(83^\circ) $$ De même, $\cos^2(7^\circ) + \cos^2(83^\circ) = \cos^2(7^\circ) + \sin^2(7^\circ) = 1$ car $\cos(83^\circ) = \sin(7^\circ)$. Donc, $$ K = 1 + 1 = 2 $$ --- 1. **Énoncé du problème :** Sur la figure, on a $AB=10$ cm, $AG=15$ cm, $AF=12$ cm, $AH=18$ cm. 2. **Montrer que $(EF) \parallel (GH)$ :** On utilise le théorème de Thalès. Si les points E et F sont sur $AG$ et $AF$ respectivement, et G et H sur $AG$ et $AH$, alors : $$ \frac{AE}{EG} = \frac{AF}{FH} = \frac{EF}{GH} $$ En vérifiant les rapports des segments, on montre la parallélisme. 3. **Calcul de $EF$ sachant que $GH=6$ cm :** Par le théorème de Thalès, $$ \frac{EF}{GH} = \frac{AF}{AH} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $$ Donc, $$ EF = GH \times \frac{2}{3} = 6 \times \frac{2}{3} = 4 $$ **Réponse finale :** - $EF = 4$ cm - $(EF) \parallel (GH)$