1. Să se calculeze: a) sin 108°, cos 45°, cos 405°, tg 165°. 2. Dacă $x \in (0, \pi/3)$, $y \in (\pi/6, \pi/2)$ și $\sin x = \frac{4}{5}$, $\cos y = \frac{3}{5}$. 3. Să se calculeze: $\sin(x - y)$, $\cos(x - y)$, $\cos(x + y)$, $\sin 2y$, $\cos 2x$. --- **Rezolvare pentru problema 1.a:** 1. Calculăm valorile trigonometrice date. - $\sin 108^\circ$: Folosim formula $\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta$. $$\sin 108^\circ = \sin (180^\circ - 72^\circ) = \sin 72^\circ$$ Valoarea exactă a $\sin 72^\circ$ este $\sin 72^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \times 2 = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$. Deci: $$\sin 108^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \times 2 = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$$ 2. $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (valoare standard). 3. $\cos 405^\circ$: Observăm că $405^\circ = 360^\circ + 45^\circ$, deci $$\cos 405^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 4. $\tan 165^\circ$: Folosim formula $\tan(180^\circ - \theta) = -\tan \theta$. $$\tan 165^\circ = \tan(180^\circ - 15^\circ) = -\tan 15^\circ$$ Știm că $\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$, deci: $$\tan 165^\circ = -(2 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 2$$ --- **Rezolvare pentru problema 1.b:** 1. Avem $\sin x = \frac{4}{5}$, $x \in (0, \pi/3)$. Calculăm $\cos x$ folosind identitatea: $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$ $$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$ $$\cos x = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$$ (pozitiv deoarece $x$ este în primul cadran). 2. Avem $\cos y = \frac{3}{5}$, $y \in (\pi/6, \pi/2)$. Calculăm $\sin y$: $$\sin^2 y = 1 - \cos^2 y = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$ $$\sin y = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$ (pozitiv deoarece $y$ este în primul cadran). --- **Rezolvare pentru problema 1.c:** Folosim formulele trigonometrice: - $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ - $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ - $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ - $\sin 2y = 2 \sin y \cos y$ - $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ Calculăm fiecare: 1. $\sin(x - y) = \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} - \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{12}{25} - \frac{12}{25} = 0$ 2. $\cos(x - y) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} + \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$ 3. $\cos(x + y) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} - \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$ 4. $\sin 2y = 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$ 5. $\cos 2x = \left(\frac{3}{5}\right)^2 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$ --- **Răspuns final:** - $\sin 108^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \times 2 = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ - $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ - $\cos 405^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ - $\tan 165^\circ = \sqrt{3} - 2$ - $\sin(x - y) = 0$ - $\cos(x - y) = 1$ - $\cos(x + y) = -\frac{7}{25}$ - $\sin 2y = \frac{24}{25}$ - $\cos 2x = -\frac{7}{25}$