1. Énoncé du problème : Trouver les zéros de la fonction $$f(x) = 2 \cos \pi (x + 2) - 1$$ pour $$x \in \mathbb{R}$$. 2. Pour trouver les zéros, on résout $$f(x) = 0$$ : $$2 \cos \pi (x + 2) - 1 = 0$$ 3. Isolons le cosinus : $$2 \cos \pi (x + 2) = 1$$ $$\cos \pi (x + 2) = \frac{1}{2}$$ 4. Rappel : $$\cos \theta = \frac{1}{2}$$ pour $$\theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi, n \in \mathbb{Z}$$. 5. Posons $$\theta = \pi (x + 2)$$, donc $$\pi (x + 2) = \pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi$$ 6. Divisons par $$\pi$$ : $$x + 2 = \pm \frac{1}{3} + 2n$$ 7. Résolvons pour $$x$$ : $$x = -2 \pm \frac{1}{3} + 2n$$ 8. Calculons les deux cas : - Pour $$+ \frac{1}{3}$$ : $$x = -2 + \frac{1}{3} + 2n = -\frac{6}{3} + \frac{1}{3} + 2n = -\frac{5}{3} + 2n$$ - Pour $$- \frac{1}{3}$$ : $$x = -2 - \frac{1}{3} + 2n = -\frac{6}{3} - \frac{1}{3} + 2n = -\frac{7}{3} + 2n$$ 9. Vérifions les options proposées : L'option la plus proche est $$x \in \left\{ -\frac{5}{3} + 2n, n \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ -\frac{1}{3} + 2n, n \in \mathbb{Z} \right\}$$ mais notre deuxième valeur est $$-\frac{7}{3} + 2n$$, pas $$-\frac{1}{3} + 2n$$. 10. Cependant, en revérifiant, on remarque que $$-\frac{7}{3} + 2n = -\frac{1}{3} + 2(n-1)$$, donc les deux ensembles sont équivalents modulo un décalage de $$n$$. 11. Conclusion : Les zéros sont $$x \in \left\{ -\frac{5}{3} + 2n, n \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ -\frac{1}{3} + 2n, n \in \mathbb{Z} \right\}$$. Réponse correcte : $$x \in \left\{ -\frac{5}{3} + 2n, n \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ -\frac{1}{3} + 2n, n \in \mathbb{Z} \right\}$$.