1. Énonçons le problème : Trouver les coordonnées des zéros de la fonction $$f(x) = 2 \cos(\pi (x+2)) - 1$$ pour $$x \in \mathbb{R}$$. 2. Rappelons que les zéros d'une fonction sont les valeurs de $$x$$ pour lesquelles $$f(x) = 0$$. 3. Posons $$f(x) = 0$$ : $$ 2 \cos(\pi (x+2)) - 1 = 0 $$ 4. Isolons le cosinus : $$ 2 \cos(\pi (x+2)) = 1 $$ $$ \cos(\pi (x+2)) = \frac{1}{2} $$ 5. Rappelons que $$\cos(\theta) = \frac{1}{2}$$ pour $$\theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi, n \in \mathbb{Z}$$. 6. Posons $$\theta = \pi (x+2)$$, donc : $$ \pi (x+2) = \pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi $$ 7. Divisons par $$\pi$$ : $$ x + 2 = \pm \frac{1}{3} + 2n $$ 8. Résolvons pour $$x$$ : $$ x = -2 \pm \frac{1}{3} + 2n $$ 9. Cela donne deux familles de solutions : - $$x = -2 + \frac{1}{3} + 2n = -\frac{5}{3} + 2n$$ - $$x = -2 - \frac{1}{3} + 2n = -\frac{7}{3} + 2n$$ 10. Remarquons que $$-\frac{7}{3} = -\frac{5}{3} - \frac{2}{3}$$, mais la forme standard est celle donnée. 11. Vérifions les options proposées : - Option 1 : $$x \in \{ -\frac{5}{3} + n, n \in \mathbb{Z} \} \cup \{ -\frac{1}{3} + n, n \in \mathbb{Z} \}$$ (pas de facteur 2 devant $$n$$, donc incorrect) - Option 2 : $$x \in \{ -\frac{11}{6} + 2n, n \in \mathbb{Z} \} \cup \{ -\frac{7}{6} + 2n, n \in \mathbb{Z} \}$$ (valeurs différentes) - Option 3 : Pas de zéro (faux) - Option 4 : $$x \in \{ -\frac{5}{3} + 2n, n \in \mathbb{Z} \} \cup \{ -\frac{1}{3} + 2n, n \in \mathbb{Z} \}$$ 12. Observons que $$-\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}$$ et $$-\frac{1}{3} = -0.333...$$, or notre deuxième solution est $$-\frac{7}{3} = -2.333...$$, ce qui ne correspond pas à $$-\frac{1}{3}$$. 13. Reprenons la résolution pour la deuxième solution : $$ x = -2 - \frac{1}{3} + 2n = -\frac{7}{3} + 2n $$ 14. Cependant, la fonction cosinus est périodique de période $$2$$ en $$x$$ car l'argument est $$\pi (x+2)$$, donc la période en $$x$$ est $$2$$. 15. Les zéros sont donc en : $$ x = -\frac{5}{3} + 2n \quad \text{et} \quad x = -\frac{1}{3} + 2n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ 16. Conclusion : La bonne réponse est l'option 4. **Réponse finale :** $$ x \in \left\{ -\frac{5}{3} + 2n, n \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ -\frac{1}{3} + 2n, n \in \mathbb{Z} \right\} $$