1. **Nêu bài toán:** Một chiếc thuyền đi xuôi dòng từ A đến B rồi trở về A. Vận tốc riêng của thuyền là $v$, vận tốc dòng nước là $u$. Khi vận tốc riêng tăng gấp đôi thành $2v$, thời gian đi lại chỉ còn 40% thời gian ban đầu. Tính tỉ số $\frac{v}{u}$.\n\n2. **Công thức và quy tắc:**\n- Vận tốc xuôi dòng: $v+u$.\n- Vận tốc ngược dòng: $v-u$.\n- Thời gian đi xuôi dòng: $\frac{L}{v+u}$.\n- Thời gian đi ngược dòng: $\frac{L}{v-u}$.\n- Tổng thời gian ban đầu: $$T=\frac{L}{v+u}+\frac{L}{v-u}.$$\n- Khi vận tốc riêng tăng gấp đôi thành $2v$, tổng thời gian mới là: $$T' = \frac{L}{2v+u} + \frac{L}{2v - u}.$$\n- Theo đề bài: $$T' = 0.4 T.$$\n\n3. **Tính toán:**\nViết biểu thức tỉ số thời gian:\n$$\frac{T'}{T} = \frac{\frac{L}{2v+u} + \frac{L}{2v - u}}{\frac{L}{v+u} + \frac{L}{v-u}} = 0.4.$$\nRút gọn $L$:\n$$\frac{\frac{1}{2v+u} + \frac{1}{2v - u}}{\frac{1}{v+u} + \frac{1}{v-u}} = 0.4.$$\n\n4. **Tính tử số:**\n$$\frac{1}{2v+u} + \frac{1}{2v - u} = \frac{(2v - u) + (2v + u)}{(2v+u)(2v - u)} = \frac{4v}{4v^2 - u^2}.$$\n\n5. **Tính mẫu số:**\n$$\frac{1}{v+u} + \frac{1}{v-u} = \frac{(v-u) + (v+u)}{(v+u)(v-u)} = \frac{2v}{v^2 - u^2}.$$\n\n6. **Thay vào tỉ số:**\n$$\frac{\frac{4v}{4v^2 - u^2}}{\frac{2v}{v^2 - u^2}} = 0.4.$$\n\n7. **Rút gọn:**\n$$\frac{4v}{4v^2 - u^2} \times \frac{v^2 - u^2}{2v} = 0.4.$$\n\n8. **Cắt $v$:**\n$$\frac{\cancel{4v}}{4v^2 - u^2} \times \frac{v^2 - u^2}{\cancel{2v}} = \frac{4}{4v^2 - u^2} \times \frac{v^2 - u^2}{2} = 0.4.$$\n\n9. **Viết lại:**\n$$\frac{4(v^2 - u^2)}{2(4v^2 - u^2)} = 0.4 \Rightarrow \frac{2(v^2 - u^2)}{4v^2 - u^2} = 0.4.$$\n\n10. **Nhân chéo:**\n$$2(v^2 - u^2) = 0.4(4v^2 - u^2).$$\n\n11. **Mở ngoặc:**\n$$2v^2 - 2u^2 = 1.6v^2 - 0.4u^2.$$\n\n12. **Chuyển vế:**\n$$2v^2 - 1.6v^2 = -0.4u^2 + 2u^2 \Rightarrow 0.4v^2 = 1.6u^2.$$\n\n13. **Chia cả hai vế cho $u^2$:**\n$$0.4 \frac{v^2}{u^2} = 1.6 \Rightarrow \frac{v^2}{u^2} = \frac{1.6}{0.4} = 4.$$\n\n14. **Lấy căn bậc hai:**\n$$\frac{v}{u} = 2.$$\n\n**Kết luận:** Tỉ số vận tốc riêng của thuyền so với vận tốc dòng nước là $\boxed{2}$.