1. **Énoncé du problème :** Calculer $||\overrightarrow{AB}||$ et en déduire $||\overrightarrow{OC}||$ pour les points $A(4, -3, 1)$, $B(-2, 0, -1)$ et $C(3, -4, 5)$. 2. **Calcul de $\overrightarrow{AB}$ :** $$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (-2 - 4, 0 - (-3), -1 - 1) = (-6, 3, -2)$$ 3. **Calcul de la norme $||\overrightarrow{AB}||$ :** La norme d'un vecteur $\overrightarrow{v} = (x, y, z)$ est donnée par la formule : $$||\overrightarrow{v}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$ Donc, $$||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{(-6)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$$ 4. **Calcul de $||\overrightarrow{OC}||$ :** Le vecteur $\overrightarrow{OC}$ part de l'origine $O(0,0,0)$ vers $C(3, -4, 5)$, donc $$\overrightarrow{OC} = (3, -4, 5)$$ Sa norme est : $$||\overrightarrow{OC}|| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$ 5. **Conclusion :** - $||\overrightarrow{AB}|| = 7$ - $||\overrightarrow{OC}|| = 5\sqrt{2}$