1. مسئله: مقدار $m$ را بیابید به طوری که دو بردار $$\vec{b} = (m-1)\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}$$ $$\vec{a} = \vec{i} - \vec{j} + m\vec{k}$$ بر هم عمود باشند. 2. قانون مهم: دو بردار زمانی بر هم عمود هستند که حاصل ضرب داخلی آنها صفر باشد. 3. فرمول حاصل ضرب داخلی دو بردار: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$$ 4. مقادیر مؤلفه‌ها را جایگذاری می‌کنیم: $$a_x = 1, \quad a_y = -1, \quad a_z = m$$ $$b_x = m-1, \quad b_y = -1, \quad b_z = 1$$ 5. حاصل ضرب داخلی: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times (m-1) + (-1) \times (-1) + m \times 1 = (m-1) + 1 + m = 2m$$ 6. شرط عمود بودن: $$2m = 0 \implies m = 0$$ پاسخ نهایی: مقدار $m$ برابر با $0$ است.