1. El problema pide determinar el módulo y la dirección de las operaciones vectoriales dadas, y graficarlas. 2. Primero, recordemos que el módulo de un vector $\vec{A} = (x,y)$ se calcula con la fórmula: $$\|\vec{A}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$$ 3. La dirección (ángulo $\theta$) de un vector $\vec{A} = (x,y)$ respecto al eje $x$ positivo se calcula con: $$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$$ 4. Dado que en el problema aparecen vectores $\vec{P}=(2,9)$, $\vec{V}=(-9,4)$, $\vec{F}=(6,-3)$, pero las operaciones involucran $\vec{N}$ y $\vec{m}$ que no están definidos, asumiremos que $\vec{N} = \vec{V} = (-9,4)$ y $\vec{m} = \vec{F} = (6,-3)$ para poder resolver. 5. Para la operación a) $\vec{P} + 5\vec{N}$: $$5\vec{N} = 5 \times (-9,4) = (-45,20)$$ $$\vec{P} + 5\vec{N} = (2,9) + (-45,20) = (2 - 45, 9 + 20) = (-43,29)$$ 6. Calculamos el módulo: $$\|\vec{P} + 5\vec{N}\| = \sqrt{(-43)^2 + 29^2} = \sqrt{1849 + 841} = \sqrt{2690} \approx 51.87$$ 7. Calculamos la dirección: $$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{29}{-43}\right)$$ Como $x$ es negativo y $y$ positivo, el vector está en el segundo cuadrante, por lo que: $$\theta = 180^\circ + \tan^{-1}\left(\frac{29}{-43}\right) \approx 180^\circ - 34.3^\circ = 145.7^\circ$$ 8. Para la operación b) $2\vec{m} - 3\vec{N} + \vec{P}$: $$2\vec{m} = 2 \times (6,-3) = (12,-6)$$ $$-3\vec{N} = -3 \times (-9,4) = (27,-12)$$ Sumamos todos: $$(12,-6) + (27,-12) + (2,9) = (12 + 27 + 2, -6 - 12 + 9) = (41, -9)$$ 9. Calculamos el módulo: $$\|2\vec{m} - 3\vec{N} + \vec{P}\| = \sqrt{41^2 + (-9)^2} = \sqrt{1681 + 81} = \sqrt{1762} \approx 41.98$$ 10. Calculamos la dirección: $$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{-9}{41}\right) \approx -12.4^\circ$$ El vector está en el cuarto cuadrante, así que la dirección es aproximadamente $347.6^\circ$ (medido desde el eje positivo $x$). Respuesta final: a) Vector resultante $(-43,29)$, módulo $\approx 51.87$, dirección $\approx 145.7^\circ$. b) Vector resultante $(41,-9)$, módulo $\approx 41.98$, dirección $\approx 347.6^\circ$.